3. Корень из числа Корнем n -й степени из числа a

1 Корень из числа Вам уже известно, что уравнение x = a при неотрицательном значении a имеет два корня: x = a x = a, где выражение a обозначает арифметический квадратный корень из числа a, т е такое неотрицательное число, квадрат которого равен a Рассмотрим уравнение x = a, где a некоторое действительное число, натуральное число Корень этого уравнения называют корнем -й степени из числа a Корнем -й степени из числа a называется такое число, -я степень которого равна a Теорема Из положительного числа существует единственный положительный корень степени Доказательство Пусть a положительное число Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число x, что x = a Доказательство существования искомого числа x выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня -й степени из положительного числа с любой степенью точности Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6 Приближенными значениями этого корня с точнос- 7

2 тью до единицы являются число с недостатком и число с избытком, так как 8 = и 6, а = 8 и 8 6 Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа Поскольку. 6,7,8,9,8 =,8 и,8 6, а,9 = 6,89 и 6,89 6, то нужное значение находится между числами,8 и,9 Испытав числа,8,8,8,8,8,86,87,88,89, найдем, что значение корня третьей степени из числа находится между числами,8 и,8 Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью Докажем единственность положительного корня степени из положительного чис ла a Пусть есть два таких положительных числа x и x, что x = a и x = a Тогда x = x Допустим, что x x, тогда по соответствующему свойству числовых неравенств получим, что x x, а это противо- речит отношению x = x Также ведет к противоречию и допущение о том, что x x Поэтому для x и x остается единственная возможность: x = x Неотрицательный корень -й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем -й степени Корень -й степени из числа a обозначают a Число называют показателем корня, число a подкоренным выражением Если подкоренное выражение a неотрицательно, то a обозначает арифметический корень Действие нахождения корня -й степени из числа a называется извлечением корня степени Это действие является

3 обратным для действия возведения в натуральную степень (рис 9) Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени кубическим корнем Пример а) Запись 8 означает корень четвертой степени из числа 8 8 =, так как 0 и = 8 6 б) Запись 6 означает корень шестой степени из числа =, так как 0 и 6 = 6 Рис 9 в) Запись означает корень пятой степени из числа =, так как ( ) = 7 г) =, так как 7 = д) 0 = 0, так как 0 = 0 Теорема Из положительного числа: а) не существует отрицательного корня нечетной степени б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа Доказательство Пусть a положительное число Пусть степень корня нечетное число Допустим, что есть такое отрицательное число x 0, для которого истинно равенство x = a Поскольку по условию x 0 0 отрицательное число, то число x 0 также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел Получается, что левый компонент x равенства 0 x = a отрицательное 0 число, а его правый компонент a положительное число Но такое невозможно Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует 9

4 Пусть степень корня четное число По теореме существует единственный положительный корень x 0 уравнения x = a А если истинно равенство x 0 = a, то истинно и равенство ( x 0 ) = a А это означает, что x 0 отрицательный корень уравнения x = a Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня Теорема Из отрицательного числа: а) не существует корней четной степени б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число Доказательство Пусть a отрицательное число Пусть степень корня четное число Допустим, что есть такое число x 0, для которого истинно равенство x = a 0 Тогда число x 0 неотрицательно как произведение четного количества равных чисел x 0 Получается, что левый компонент x 0 равенства x 0 = a неотрицательное число, а его правый компонент a отрицательное число Получили противоречие Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа Пусть степень корня нечетное число Тогда корень x 0 степени из отрицательного числа a не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве x = a левый компонент x 0 0 был бы неотрицательным, а правый компонент a отрицательным Поскольку a число отрицательное, то противоположное число a положи тельное В соответствии с теоремой существует положительный корень x 0 уравнения x = a, т е истинно равенство x = a Тогда 0 x 0 = a Поскольку по условию число нечетное, то ( x 0 ) = x Значит, ( x 0 0) = a А это и означает, что отрицательное число x 0 есть корень нечетной степени из отрицательного числа a Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня Таким образом, если a 0, то выражение a имеет значение при любом натуральном значении, как четном, так 0

5 и нечетном, а если a 0, то выражение a имеет значение только при нечетном натуральном значении По определению корня, при каждом значении a, при котором выражение a имеет значение, истинно равенство a = a Следствие Корни нечетной степени из противоположных чисел являются противоположными числами: a = a, если нечетное число Действительно, если нечетное число, то истинное равенство a = a означает, что число a является значением корня степени из числа a: a = a Следствие a eсли нечетное натуральное число a,, = a, если четное натуральное число Рассмотрим примеры решения уравнений вида x = a Пример Решим уравнение a = Уравнение имеет единственный корень Он является положительным числом, пятая степень которого равна, т е числом Число иррациональное С помощью калькулятора находим, что с точностью до тысячной оно равно,6 Пример Решим уравнение b = Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами Положительный корень это положительное число, четвертая степень которого равна, т е число Отрицательный корень число Числа и иррациональные С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны,07 и,07 Пример Решим уравнение a 9 = 7 Уравнение имеет единственный корень Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна 7, 9 т е числом 7, или, используя представление с помощью 9 арифметического корня, числом 7 9 Число 7 иррациональное Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно,908

6 ? Какое число называется корнем степени из числа a? Какое действие называют извлечением корня? Какой корень называют квадратным кубическим? Что называют показателем корня подкоренным выражением? Какой корень называют арифметическим корнем степени? 6 Какова область определения выражения a при четном значении при нечетном значении? 7 Как корень нечетной степени из отрицательного числа выразить с помощью арифметического корня? 8 Чему равно значение выражения a при различных значениях? 8 Найдите устно арифметический квадратный корень из числа: а) б) в) 89 г) д) е) Найдите устно арифметический кубический корень из числа: а) б) 7 в) 0,07 г) 8 7 д) 6 0 Определите, верно ли что: а) 6 = в) = б) 06, = 0,6 г) 6 = 8 Найдите значение корня: а) 7 г) ж) к) б) д) 6 з) 0, 07 6 в) 6 е) 006, и) 8 Найдите значение выражения: а) 96 в) 0, 0000 д) + 7 0, 008 б) 000 г) 0, 8 е) 0, 0 + Найдите значение степени: 9 а) 7 7 г) ж) 7 7 к) б) 6 д) з) 8 в) е) 9 и) 7 8

7 Найдите арифметический корень четвертой степени из числа: а) 0 б) 6 в) 6 г) Вычислите: в) а) 6 д) 6 ж) б) 0 г) е) з) Найдите, при каких значениях переменной имеет значение выражение: а) 6 y в) 8 e д) y ж) d 6 d б) 7 0 t f y г) x е) з) t + f 7 Что можно сказать о выражении а, учитывая, что: а) квадратный корень из выражения а имеет два значения б) никакое положительное число не является значением выражения a? 8 Укажите, при каких значениях переменной истинно равенство: а) a = a б) x = x в) b 8 = b г) y 8 = y 9 Вычислите: а) + в) б) г) 6 0 0, Решите уравнение: а) a = в) x = д) u = б) x 6 = 6 г) z = 0 е) a 0 = 08 6 Сколько есть натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: а) б) ? 6 Найдите область определения функции: 9 а) y = x 7 б) c = t + t в) p = c + c + 8

8 6 Упростите: 6 а) ( x ), если x если x б) ( a ), если a если a 6 Упростите: а) ( a ) 8 в) ( c c + ) 8 б) ( b + ) 9 г) ( c c + ) 9 6 Найдите: а) величину вклада в a p через лет, учитывая, что годовая процентная ставка составляет p % б) годовую процентную ставку, учитывая, что величина вклада удвоится через 0 лет 66 Решите уравнение: а) 7a = б) b = в) e = 67 Решите уравнение: а) ( a + ) = а в) 6 6 ( c + c ) = c + c б) ( b ) 8 = ( b) 8 8 г) ( 8 d d ) = d + d 8 68 а) Упростите выражение ( x ) + ( x) б) постройте график функции y = ( x ) + ( x) в) решите уравнение ( x ) + ( x) = 69 Постройте график функции: а) y = ( x ) б) z = t в) A = y 6 г) K = a 8 t Рис 0 70 Для определения расстояния от точки M до недоступной точки N выбрали точку P на расстоянии l от точки M и измерили углы α и β, которые составляет прямая MP с прямыми MN и PN (рис 0) Найдите расстояние MN, учитывая, что:

9 а) l = 0 м, α = 80 и β = 70 в) l = 8 м, α = 6 и β = 6 б) l = 0 м, α = 60 и β = г) l = 90 м, α = 0 и β = 67 7 Докажите, что: а) биссектриса угла тре уголь ни ка делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, используя теорему синусов б) если на стороне тре уголь ни ка выбрать точку, делящую эту сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то отрезок, соединяющий выбранную точку с противолежащей вершиной тре уголь ни ка, является его биссектрисой 7 Используя теорему синусов, докажите, что в тре угольни ке: а) против равных сторон лежат равные углы б) против равных углов лежат равные стороны в) против большей стороны лежит больший угол г) против большего угла лежит большая сторона 7 Углы A и C тре уголь ни ка ABC равны соответственно α и γ, а углы A и D тре уголь ни ка ABD соответственно δ и ε Найдите отношение BC BD 7 Две прямые пересекают одну сторону угла A величиной α в точках M и P, другую в точках N и Q (рис ) Углы M и N тре угольни ка AMN, углы P и Q тре уголь ни- AP ка APQ и отношение равны соответственно β, γ, δ, ε, a AM Найдите отношения AQ AN и PQ MN Рис 7 В равносторонний тре уголь ни к вписан другой равносторонний тре уголь ни к так, что стороны первого треуголь ни ка перпендикулярны сторонам второго Докажите, что отношение сторон вписанного и данного тре уголь ни ков равно 76 Измерив два угла и две стороны треугольника, получили,, см, см Определите, какой может быть третья сторона

10 77 Один угол параллелограмма равен 6, его большая сторона дм, меньшая диагональ, дм Найдите: а) меньшую сторону и большую диагональ параллелограмма б) площадь и высоты параллелограмма в) углы, образованные меньшей диагональю со сторонами параллелограмма г) углы, образованные большей диагональю со сторонами параллелограмма 78 Хорды PQ и RS одной окруж ности длиной 8 и соответственно пересекаются в точке A Найдите угол между хордами, учитывая, что точка Q отстоит от точек A и S соответственно на 8 и 8 Рис Рис 6 79 На горе находится вышка высотой 0 м (рис ) Некоторый предмет P около горы наблюдают из вершины A вышки и затем от ее основания B, и в результате получают величины 6 и 7 соответственно Найдите высоту h горы 80 Ребро QR пирамиды QRST равно и перпендикулярно ее ребрам RS и RT (рис ) Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что ребра ST и QR, а также RS и RT равны друг другу, а угол SQT равен 7 8 Точки J, B и Q середины ребра SS и диагоналей S T и S U соответствующих граней куба STRUS T R U (рис ) Найдите площадь полной поверхности куба, учитывая, что периметр тре уголь ни ка JBQ равен + см

11 8 Точки A и B середины диагоналей GE и HK трапеции GHEK, являющейся основанием пирамиды FGHEK, а точка Q середина ребра FH Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Q, A, B Какой фигурой является сечение? 8 Решите неравенство: Рис а) z в) v д) q + q б) c г) b + b 0 е) w w Решите неравенство: а) d d д) r r б) e + 6e е) s 8s в) k + k + 0 ж) c c c + г) m + m + 0 з) Решите неравенство: e + а) e г) u m m ж) u m + m + r 0 б) д) r t + t з) q + 7 q + 0 в) y y + е) i i i + + i + и) s s * * * 86 Пытаясь предсказать результат заплыва, первый наблюдатель расположил пловцов так: A, B, C, D, E Оказалось, что он не угадал правильно ни место ни одного из пловцов и ни одной пары пловцов, которые финишировали друг за другом В прогнозе D, A, E, C, B, сделанном вторым наблюдателем, были правильно угаданы места двух пловцов и две пары пловцов, которые финишировали друг за другом Определите, в каком порядке финишировали пловцы 87 Определите, при каких значениях переменной все вершины правильного -угольника могут располагаться в узлах квадратной сетки на плоскости 88 Докажите, что числа вида 0, 07 иррациональны 7

12 8 Свойства арифметического корня Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства: если a 0 и b 0, то ab = a b если a 0 и b 0, то a b a = b если a 0 и b 0, то неравенство a b равносильно неравенству a b Аналогичные свойства имеет корень -й степени и при Теорема При любом натуральном значении : а) ab = a b, если a 0 и b 0 б) a a =, если a 0 и b 0 b b Доказательство Пусть a 0 и b 0 Докажем, что ab = a b Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что: a b 0 и a b = ab Поскольку a 0, то выражение a имеет значение и это значение неотрицательно Так же поскольку b 0, то выражение b имеет неотрицательное значение Поэтому и выраже- ние a b имеет неотрицательное значение Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим a b = a b = ab Доказательство равенства a a = проводится аналогично b b Следствие При любом нечетном натуральном значении : a b а) ab = a b, если a и b любые числа б) a a =, если a любое число и b 0 b b Действительно, если, например, a 0 и b 0, то ( ) a ( ) a ( ) a ( ) = = = = b b b a Здесь использованы () и () b

13 следствие из параграфа, () теорема, () свойство дроби Теорема дает правила извлечения корня из произведения и из дроби: чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй Прочтение тождеств из теоремы справа налево: a a b = ab и = a b b дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями: чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного Пример а) = = 0 = 0 б) 8 ( ) 7 = 8 7 = 8 7 = = = 0 в) 6 6 = = = = г) 78 9 = 78 = 7 = 9 Теорема Если a 0, то при любых натуральных значениях и m истинны равенства a = a и a = a Доказательство Пусть a 0 Тогда: m m m m m a = a a a = a a a = a m m множителей m множителей m Докажем второе тождество Выражение a имеет значение, причем это значение неотрицательно Поскольку m m m m a = a = a = a, 9

14 m то выражение a является значением корня степени m из m m числа a: a = a Следствие Если и m нечетные числа, то при любом m m m m значении a истинны равенства a = a и a = a Действительно, если, например, a 0, m и нечетные числа, то m m a = a = m a = m a = m a Теорема позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня: чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений Пример а) = 8 = 6 = 0 9 б) = ( ) = ( ) = ( ) = 0 = 0 = = = 8 0 в) = Следствие Если a 0, то при любых натуральных значениях m, и k истинно равенство a = a k mk m Действительно: k m k mk k km k m a = a = ( a ) = a Доказанное утверждение выражает основное свойство корня: если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится Пример а) 6 = = = = б) 9 = = 6 9 = 6 = 6 6 = 6 Можно доказать, что если m, и k нечетные числа, то k mk m при всех значениях a истинно равенство a = a Теорема 6 Если a 0 и b 0, то неравенство a b равносильно неравенству a b при любом натуральном значении

15 Доказательство Пусть a 0 и b 0 Тогда выражения a и b имеют значения при любом значении Пусть a b Допустим, что a b Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим a b Но это противоречит условию a b Пусть a b Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим a b Следствие Если нечетное число, то неравенство a b равносильно неравенству a b при любых значениях a и b Действительно, если a 0 и b 0, то a 0 и b 0 Неравенство a b по уже доказанному равносильно неравенству a b, или неравенству a b, или неравен ству a b Получили, что если a 0 и b 0, то неравенство a b равносильно неравенству a b Равносильность неравенств в случаях, когда числа a и b имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично? Сформулируйте правила извлечения корня из произведения для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня Сформулируйте правила извлечения корня из дроби для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня Сформулируйте правила умножения корней с одинаковыми показателями для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня Сформулируйте правила возведения корня в степень для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня Сформулируйте правила извлечения корня из корня для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня 6 Сформулируйте основное свойство корня 7 Сформулируйте теорему, связывающую неравенства a b и a b для неотрицательных подкоренных выражений для нечетного показателя корня 89 Найдите значение выражения: а) 7 в) 6 8 д) 0, 00 б) 6 г) е) 9

16 90 Найдите значение выражения: а) 0 г) 7 7 б) д) в) е) Вычислите: 6 а) 8 б) в) 0 г) а) 9 Найдите значение выражения: 8 б) в) г) Установите, во сколько раз значение выражения: а) 6 больше значения выражения 7 б) 7 меньше значения выражения Найдите значение выражения: а) 97 8 г) 09 6 б) 7 д) в) 0, 8, е) 9 Найдите катет прямоугольного тре уголь ни ка, у которого второй катет и гипотенуза соответственно равны: а) 9 и 09 в) и б) и 80 г) 97 и Вычислите: а) б) в) 8 0 г) 7 а) 97 Вычислите: в) б) г)

17 98 Вычислите: а) 0, 6 в) д) б) 686 г) 0, 00 0 е), 8 99 Вычислите: а) 6 в) : д) 0 б) 6 г) 8 е) ( 6 ) 00 Установите, при каких значениях переменной истинно равенство: а) a = a a + б) ( b )( 7 b) = b 7 b в) ( c + )( c ) = c + c г) 6 dd ( + )( d+ ) = 6 d 6 d+ 6 d+ д) ( x l) 8 8 = x l 9 е) ( y 7) = 9 y 7 0 Упростите: а) a в) x д) xy x y 7y б) 8c 8 г) 8 е) kl kl kl 0 Представьте дробью выражение: а) 9 б) в) b 6 г) 8 d 6 0 Упростите: 6 7 а) xy xy в) c d d 9c б) 8ab ab г) e f f 8e 0 Упростите: 0 а) в) ( ) д) 8 б) г) 8 x е) 6 6 ж) з) 8

18 0 Упростите: 6 а) 7 в) 8 д) 0 б) 9 г) 6 е) 06 Вычислите: а) г) 0 0 ж) 7 8 б) 7 д) 7 7 з) в) 8 6 е) 00, 0, 07 Упростите: а) 7 б) 0 08 Упростите: в) 8 г) 6 д) а) a a б) c c в) e e г) g g 09 Упростите: ( ) а) (( a )( a + )) г) ( e )( e + ) б) 6 ( b b + ) д) ( d + d 6 ) ( ) в) ( c )( c + ) 6 е) 8 ( f f + 6) 0 Упростите выражение: а) б) 6 8 в) д) 6 г) a a е) b b Выполните действия: а) 7 в) 7 7 д) б) 6 г) е) 6 Упростите выражение: 9 6 а) a a 8 б) a a a a

19 Найдите значение выражения: а) в) 6+ 6 б) 7 + г) + Упростите выражение: а) 6ab 6 в) kl k l б) 0 0 c d г) Вычислите: а) 6 7 б) 0 а) 6 Упростите: xy z xy б) z 7 Упростите: 8 а) c c б) sf r sr f в) г) 9 klm klm klm в) s t в) m m 8 6 st st г) (, 07) 9 : (, 7) 9 8 Докажите: а) + = б) = 9 С помощью калькулятора с точностью до тысячной найдите значение выражения: а) г) 6, б) д) 8, 8 в) 6, е) 8, 0 С точностью до десятитысячной с помощью калькулятора найдите значение выражения: а) 8 : б) 68, 08, в) (, ) 7 (, 0 ) 7 Сравните значения выражений: а) 6 6 и б) и 8 в) и

20 6 Сравните с нулем значение выражения: а) в) 0 0 б) 0 г) 0 а) Упростите: q q p p q + q + qp p б) в) m m m + e f e + f e f e + f x + y xy x y x + y г) Определите знак выражения: а) si ( 0 ) si 99 в) cos ( ) si tg ( 9 ) б) tg ctg ( 97 ) г) si ( 96 ) cos ( 96 ) ctg 76 Есть выражения si x, cos x, tg x, ctg x Найдите значения тех из них, которые не известны, учитывая, что: а) ctg x = 8 и π x π 99 г) cos x = и 0 x π 0 б) si x = 8 7 и π x π д) tg x = 60 9 и 0 x π в) cos x = 77 и π x π е) ctg x = 8 и π x π 6 Представьте произведением выражение: β π г) ctg 8 ctg 9 б) ctg + ctg 7 д) tg ctg z в) ctg g ctg h е) tg x tg y a) tg β+ π + tg 7 Проводятся различные прямые, отсекающие от данного угла тре уголь ни ки с данной площадью Какой из этих тре уголь ни ков имеет меньшую сторону, заключенную между сторонами угла? 8 Углы CQD и EQD, а также QDC и QDE пирамиды QCDE равны друг другу (рис ) Определите: а) сколько граней пирамиды являются равнобедренными треуголь ни ками

21 Рис Рис 6 б) полную поверхность пирамиды, учитывая, что QD = 60, CQD =, QDC = 7, DCE = 60 9 На ребрах MM и MP призмы MNOPM N O P выбраны точки A и B Постройте: а) точку, в которой прямая AB пересекает плоскость M N O б) прямую, по которой плоскость ABN пересекает плоскость M N O 0 Постройте сечение пирамиды QXYZ, все ребра которой равны l, плоскостью, проходящей через середины ребер XY, QZ и параллельной ребру QY Найдите периметр сечения Есть правильная треугольная призма XYZX Y Z, на ребре XX которой выбрана такая точка A, что XA AX = (рис 6) Через эту точку и вершины Y, Z проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках B и C соответственно Найдите отрезок BC, учитывая, что XY = 6 мм Произведение диагоналей ромба, являющегося основанием прямого параллелепипеда, равно 9 см, радиус вписанной в него окруж ности,8 см, а диагональ боковой грани 6 см Найдите полную поверхность параллелепипеда Найдите полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны см, см и см * * * Действительные числа a и b удовлетворяют условию a + b + ab + (a + b) = 0 Докажите, что a + b 7

22 Точки A и C, B и A, C и B выбраны соответственно на сторонах AC, AB и BC тре уголь ни ка ABC так, что A A BC, B B AC, C C AB и отрезки A A, B B, C C пересекаются в центре окруж ности, вписанной в тре уголь ни к ABC Найдите значение выражения AA BB CC + + BC AC AB 6 По кругу записано 008 целых чисел так, что из любых пяти чисел, идущих подряд, можно выбрать три числа, сумма которых в два раза больше суммы двух остальных чисел из этих пяти Докажите, что все записанные числа нули 8 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Пример Рассмотрим квадрат со стороной (рис 7) Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью Будем продолжать этот процесс далее В результате получим бесконечную убывающую 8 последовательность,, 8, 6,, 6,, у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на Естественно считать, что сумма равна, так как она представляет площадь всего данного квадрата Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых Рассмотрим ее часть S из слагаемых: S = Рис 7 8

23 Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Поэтому S = = С возрастанием значения переменной значение выражения становится все меньше и меньше: значение переменной всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа Поэтому бесконечную сумму считают равной Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию a, a q, a q, a q,, a q,, где q Для таких прогрессий истинно условие k k+ aq aq, их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями Суммой членов бесконечно убывающей гео мет ри че ской a прогрессии (a ) со знаменателем q называется число S = q Это определение объясняется тем, что с увеличением число S все меньше отличается от суммы первых членов этой прогрессии Действительно, q q a a S = a = a q q = q q q Поскольку q, то q с увеличением приближается к a нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое q q a Поэтому сумма S приближается к q Пример Найдем значение суммы Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей гео мет ри че ской прогрессии, у которой a = и q = a 7 = = Поэтому a 7 9

24 S = = = 0, Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от и, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь Например: = = = = = 06, = 0,(90) 7 8 = 0,(8087) Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом В записи 0,(8087) предпериод равен, а период Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида bs bb, aa ak Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр b, b,, b s, а дробная с помощью цифр a, a,, a k Теорема 7 Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде Доказательство Пусть 0, aa a k периодическая десятичная дробь, где a, a,, a k цифры периода Тогда число 0, aa a k можно представить бесконечной суммой: aa ak aa a aa a k = , k + + aa a k +, 00 0 k нулей k нулей k нулей в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на Это означает, что бесконечную перио k нулей

25 дическую дробь можно рассматривать как сумму S членов бесконечно убывающей гео мет ри че ской прогрессии с первым членом aa a k 00 и знаменателем Поэтому k нулей k нулей S = aa a k k нулей k нулей = k нулей aa a = k aa ak нулей 00 0 = 99 9 k k нулей Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 8 Пример Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(90) Имеем: 0,(90) = = 96 = 0 k девяток Теорема 8 Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде Доказательство Пусть 0, aa ak( ak + ak + ak + s) периодическая десятичная дробь, где a, a,, a k цифры предпериода, a k +, a k +,, a k + s цифры периода Тогда число 0, aa ak( ak + ak + ak + s) можно представить суммой 0, aa ak( ak + ak + ak + s) = Рис 8, +, ( ) = 0 aa ak ak + ak + ak + s k нулёў или, с учетом теоремы 7, суммой 6

26 aa a a a a k k нулей k нулей k + k + k + s s нулей Преобразуем полученное выражение: aa a a a a k k нулей k нулей s нулей k + k + k + s s нулей aa ak a + a + a + = k нулей s нулей s нулей = k k k s aa ak 00 0 aa a + a a a = k k + k + k + s k нулей s девяток aa aa k k + ak + ak + s aa ak = s девяток k нулей Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 9 = = s s Рис 9 Пример Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,() Имеем: 0,() = = = = = ? Что происходит со значением выражения r, где r, если значение переменной неограниченно увеличивается? Какое число называют суммой членов бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии?

27 Какое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью? Какое рациональное число представляется бесконечной периодической десятичной дробью? Что называют периодом бесконечной периодической десятичной дроби предпериодом бесконечной периодической десятичной дроби? 6 Как конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную? 7 Как бесконечную периодическую десятичную дробь без предпериода преобразовать в обыкновенную дробь? 8 Как бесконечную периодическую десятичную дробь с предпериодом преобразовать в обыкновенную дробь? 7 Докажите, что бесконечно убывающей гео мет ри ческой прогрессией является бесконечная последовательность: а). в),, 9, 7, б) 8, 7, 9,, г) 6, 8. 8 Установите, является ли бесконечно убывающей геомет ри че ской прогрессией бесконечная геометрическая прогрессия, для которой: а) a = 0, a = 0 в) u 7 =, u = б) b 6 = 8, b 7 = 6 г) v = 9, v 9 = 7 9 Установите, является ли бесконечно убывающей геомет ри че ской прогрессией бесконечная последовательность, для которой: а) t = ( ) в) y = б) x = г) z = Докажите, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, учитывая, что: а) b = 8, S = 6 в) v + v = 0, v v = 0 б) y =, S = 67 г) z + z = 68, z z = 60 Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометри че ской прогрессии, для которой: а) a = 8, q = в) u = 9, q = б) b = 8, q = г) v = 8, q = 6

28 Найдите сумму членов бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии: а). 9, 7, г) 6,, 6, 6, б) 9. 9 д). в) 6,, 6,, 6 е) 9, 7,, Найдите сумму членов бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии: а). 8, в) + + б). 9, г), x, x, x,, если x Найдите сумму членов бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии, для которой: а) u = 6, q = в) l = 9, q = б) v = 8, q = г) r = 8, q = Есть правильный тре уголь ни к со стороной a В него соединением середин сторон вписывается тре уголь ни к, в который тем же способом вписывается новый тре уголь ни к, и так далее до бесконечности Найдите: а) сумму периметров этих тре уголь ни ков б) сумму площадей этих тре уголь ни ков 6 Есть квадрат со стороной l В него соединением середин сторон вписан квадрат, в который таким же способом вписан новый квадрат, и так далее до бесконечности Найдите: а) сумму периметров этих квадратов б) сумму площадей этих квадратов 6 7 На кубе со стороной a стоит куб со стороной a, на котором стоит куб со стороной a, и т д Ребро каждого следующего куба в два раза короче ребра предыдущего куба В результате получается ступенчатая фигура (рис 60) Найдите:

29 а) высоту этой фигуры б) площадь задней боковой грани этой фигуры в) объем этой фигуры 8 В угол, равный 60, последовательно вписаны окруж ности, которые касаются друг друга (рис 6) Радиус R самой большой окруж ности равен r Найдите радиусы R, R,, R, следующих окруж ностей Докажите, что сумма R + (R + R + + R + ) равна Рис 60 расстоянию от центра первой окружности до вершины угла Рис 6 9 Найдите, при каких значениях переменной x прогрессия а + х а х, а х а + х, а х а + х, является бесконечно убывающей, и найдите сумму ее членов 0 Постройте график функции у = х х х х ( + х ) Сумма членов бесконечно убывающей гео мет ри че ской прогрессии равна 0 Найдите: а) u, учитывая, что q = б) q, учитывая, что t = 7 Составьте такую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, чтобы сумма ее членов была равной, а сумма квадратов ее членов равна 6 Установите, можно ли из чисел,, 8. п выбрать такие числа, которые образуют бесконечную геометрическую прогрессию с суммой членов, равной: а) б) 7 Найдите первый член бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии, учитывая, что сумма: а) членов прогрессии равна, а ее знаменатель равен 6

30 б) членов прогрессии равна +, а ее знаменатель в) пяти первых членов равна, а сумма членов прогрессии 8 Найдите сумму членов бесконечно убывающей гео метри че ской прогрессии: а) + si 0 + si 0 + si 0 + б) cos 0 + cos 0 cos С использованием суммы бесконечно убывающей геомет ри че ской прогрессии запишите периодическую дробь без предпериода: а) 0,() в),() д),(7) ж),() б),(7) г),() е) 0,(9) з) 0,(90) Найдите эту сумму 7 С использованием суммы бесконечно убывающей геомет ри че ской прогрессии запишите периодическую дробь с предпериодом: а) 0,() г),7(88) ж),06() б),0(7) д),0() з) 0,00(89) в),() е),(0) и) 0,() Найдите эту сумму 8 Представьте десятичной дробью рациональное число: а) б) 66 9 в) 7 д) 6 9 г) 7 е) 6 9 Найдите представление бесконечной периодической десятичной дробью рационального числа с числителем 7 и знаменателем: а) 7 б) в) 7 г) д) 8 60 Найдите представление бесконечной периодической десятичной дробью рационального числа со знаменателем 7 и числителем: а) 9 б) в) 6 г) 7 д) 7

31 6 Обыкновенной дробью представьте рациональное число: а) 0,(6) в),() д) 6,(76) б) 0,(8) г),(9) е) 0,(9076) 6 Обыкновенной дробью представьте рациональное число: а) 0,(6) в),() д) 6,(76) б) 0,7(8) г),(9) е) 0,00(9076) 6 Через вершину прямого угла Z прямоугольного треуголь ни ка XYZ проведена плоскость α, параллельная гипотенузе XY Биссектриса угла X пересекает плоскость α в точке Q Найдите длину отрезка ZQ, учитывая, что XY = см, YZ = см 6 Точки A и B соответственно середины ребер NK и ML пирамиды MNKL, все ребра которой равны друг другу Найдите отрезок, по которому пересекаются сечения пирамиды плоскостями, проходящими через прямые MA и KB и параллельные прямой NL, учитывая, что NK = 60 см 6 Есть треугольная пирамида PABC, все ребра которой равны Начертите плоскость перпендикуляров к прямой: а) PQ в точке Q основания пирамиды б) PQ в точке P в) CВ в середине K ребра CВ г) AC в точке Q д) PA в точке P 66 Точка K середина ребра KM треугольной пирамиды QKLM, все ребра которой равны 0 Начертите сечение пирамиды и найдите его площадь, учитывая, что плоскость сечения перпендикулярна прямой: а) QL и проходит через точку K б) QK и проходит через точку L в) LM и проходит через точку K 67 C двух участков вместе собрали 7 ц зерна Оказалось, что урожайность на первом участке составила 7 ц/га, на втором 0 ц/га, а урожай на втором участке был на 0 ц больше, чем на первом Найдите площади участков 67

32 68 Когда собрали урожай с двух участков площадью 0 га и га, то оказалось, что урожай на втором участке был на ц больше, чем на первом Найдите урожайности на каждом участке, учитывая, что средняя урожайность на двух участках оказалась равной ц/га 69 Есть тре уголь ни к ACB, сторона BC которого на 8 см длиннее стороны AB Найдите возведенный к плоскости треуголь ни ка перпендикуляр BP, учитывая, что точка P отстоит от вершин A и C на 6 см и 0 см 70 Есть прямоугольный параллелепипед PQRSP Q R S с квадратным основанием PQRS Найдите боковую поверхность четырехугольной пирамиды Q PQRS, учитывая, что PQ = 0 см, PR = 0 6 см * * * 7 В тре уголь ни ке ABC угол A равен α Окруж ности с центрами O и O проходят через точку A и касаются стороны BC в точках B и C Определите угол O PO, где P еще одна, кроме A, общая точка окруж ностей x = y +, 7 Решите систему уравнений y = z +, z = x + 7 Найдите все тройки чисел a, b и c (a b и ab 0), такие, что графиками функций y = ax + bx + c и y = bx + cx + a являются различные параболы с общей вершиной 68 6 Степень с действительным показателем Понятие степени a t с различными показателями t вводится постепенно Сначала определяется степень с натуральным показателем как многократное умножение: a опр = a a a () множителей Здесь символом опр = подчеркивается, что равенство () особое: это равенство-определение, и поэтому не требует обоснования в отличие, например, от равенства (a + b) = a + ab + b

33 Определение-равенство () осмысленное только для тех натуральных значений показателя, которые не меньше, так как умножение есть двуместное действие Поэтому натуральная степень a требует особого определения, но такого, при котором сохраняются свойства натуральной степени, в частности, свойство a k a l = a k l С учетом этого должно быть: a a = a = a a a a a a a Вместе с этим = a a a a a a = Поэтому первую степень a целесообразно определить так: a опр = a () Так же, поскольку a a = a = a 0 и вместе с этим a a a a = =, то нулевую степень a 0 целесообразно опре- a a a a a a делить так: a 0 опр = () Обратив внимание, например, на то, что a a = a = a и вместе с этим a a a = = a a a a a a, приходим к выводу, что a отрицательную целую степень a, где натуральное число, целесообразно определить так: a опр = () a При этом, если в равенствах () и () основание a может иметь любое действительное значение, то в равенствах () и () это значение должно быть отличным от нуля m Рациональную степень a с положительным основанием a введем из следующих соображений Для целых показателей k и l выполняется свойство (a k ) l = a kl Желательно, чтобы оно выполнялось и для дробных показателей В таком случае m m m будет m a = a = a Но равенство a m m = a означает, что число a должно быть корнем -й степени из числа a m : m опр = m a a () Пример С учетом определения () получим: а) 6 = 6 = = б) = = ( ) = = 7 в) 0 = 0 = 0 = = 6 69

34 Из определения степени с рациональным показателем следует, что при любом положительном значении основания a и любом рациональном значении показателя t число a t является положительным ml m Поскольку, с учетом свойств корня, l l ml m a = a = a = a, то значение рациональной степени a t не зависит от того, какой дробью из множества равных дробей представлен рациональный показатель t Если показателем степени является дробь m с нечетным знаменателем, определение () распространяется и на отрицательные значения основания a Пример 70 а) 8 6 ( ) = ( ) = = = = 0 9 б) ( ) = ( ) = = = = 8 m Если показателем степени является дробь с четным знаменателем, то степень m a с отрицательным основанием не определяется Степень a t положительного числа a с иррациональным показателем t определяется так Пусть a Для числа t выпишем последовательности x, x, x,, x, и y, y, y,, y, его десятичных приближений по недостатку и по избытку соответственно Тогда x x x x t y y y y Из этих неравенств с учетом того, что если a и u v, то a u a v, получим: a x a x a x a x a y a y a y a y (6) y x Оценим разность a a Получим: y x x y x y y x a a = a ( a ) a ( a ) Если значение переменной неограниченно увеличивается, то значение выражения y x стремится к нулю, значение выражения a y x к единице, а значение выражения a y x y, а потому и выражения y x a ( a ) к нулю Это означает, что значения выражений a x и a y приближаются друг к другу Можно доказать, что есть только одно чис-

35 x y ло b, для которого a b a при всех Оно и принимается в качестве значения иррациональной степени a t t p k a = b опр a b a, где p и k рациональные приближения иррационального числа t по недостатку и по избытку соответственно Так же определяется иррациональная степень a t для 0 a При этом для любого действительного показателя t t = (7) Отметим, что если действительный показатель t больше нуля, то a t имеет смысл и при a = 0, именно: 0 t опр = 0, если t 0 (8) Пример Рассмотрим иррациональную степень Учитывая, что =, , получим. 6,66,66,66,67,7, Поэтому,,6,66,66,66,67,7,, или 9,9666,98,069,00,09,0,08,88 6 Вычисление на калькуляторе для числа дает:, Для степени с действительным показателем верны известные вам основные свойства степени: если a 0 и b 0, то: (9) а) a x a y = a x + y г) (a b) x = a x b x б) a x a y = a x y a x x a д) = b x b в) (a x ) y = a x y 7

36 если a 0, то выражение a t имеет значение при любом значении переменной t (0) если a 0, то a x 0 при любом значении переменной x () если a, то a x при x 0 и a x при x 0 () если 0 a, то a x при x 0 и a x при x 0 () если a и x x, то a 7 x a () x x если 0 a и x x, то a x a () Докажем, например, что a x 0 при любом иррациональном значении переменной x Если a =, то a x = 0 Пусть a, x иррациональное число, x и x рациональные приближения к x по недостатку и избытку: x x x Из определения иррациональной степени следует, x x x что a a a, а поскольку a x 0, то и a x 0 x x x Если 0 a, то так же получим, что a a a 0 Понятием степени с натуральным показателем пользовались уже в Древней Греции Об этом свидетельствуют термины квадрат числа и куб числа, известные с тех времен Современные обозначения натуральной степени a, a,, a ввел в 67 г французский математик Рене Декарт Французский математик Николя Орем (около 8) уже пользовался дробными показателями Отрицательные и нулевой показатели ввел в обиход французский математик Николя Шюке (около около 00) Нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (8 60) обратил внимание на то, что a целесообразно понимать как a Знак для обозначения корня впервые использовал в г чешский математик Криштян Рудольф (около 00 около ), а современный символ с горизонтальной чертой сверху ввел Декарт? Как определяется натуральная степень a действительного числа a? Как определяется первая степень действительного числа a? Как определяется нулевая степень a 0 действительного числа a? Как определяется целая отрицательная степень a действительного числа a? m Как определяется рациональная степень a положительного действительного числа a?

37 m В каком случае рациональная степень a рассматривается и для отрицательных значений основания? 6 Как определяется иррациональная степень a t дейст вительного числа a для a 0 a a = a = 0? 7 Сформулируйте свойства произведения и частного действительных степеней с одинаковыми основаниями 8 Сформулируйте свойства действительной степени произведения, частного, степени 7 Представьте степенью числа число: а) 8 г) 6 ж) к) б) 0 д) 0, з) л) 0,06 в) е) 0, и) 8 м) 0,06 7 Представьте степенью с рациональным показателем число: 8 а) 7 в) д) б) г) е) Представьте радикалом число: 6 а) в), д) б) 0 г) 0, е) 77 Найдите значение выражения: а) 0, г) ж) 8 8 0,7 б) д) , ( 7 ) з) 8 в) 6 е) Определите, какое из чисел больше: а) 9 или в) или 6 д) 7 или 9 6 б) 0, или г) 6 или 6 е) 00 или

38 79 Сравните числа: а) 7 9 и 8 в) 6 и 6,7 б) 0,,7 и 7 7 г) и 7 80 Представьте степенью выражение: а) 8 в) г) 6 б) 6 8 Представьте степенью выражение: а) a a 7 a в) (b b ) b д) a б) a a a г) b b b b е) a a a a д) 9 7 е) ( ) 8 Разложите на множители выражение: а) ( ax) + ( ay) г) ( x) ( x) ж) б) a a д) x y x y + з) c + c в) + е) a + b + a + a b 8 Определите, имеет ли значение выражение: а) ( ) в) 7 д) 0 7 б) ( ) 8 г) 0 е) 0 8 Найдите область определения выражения: а) 7 ( x + ) в) ( t ) д) x б) z г) ( 7 x ) е) x 7 8 Определите, при каких значениях переменной истинно равенство: a 8 а) 8 = a в) ( ) = u 0 0 б) ( x 6 ) 6, = x г) ( v 07 ) 7 = v

39 а) а) б) 86 Упростите выражение: a a b b б) z 8 в) x a + b г) x 6 z + z + a ab + b 87 Упростите выражение: x x y + xy xy + xy в) x + y a a + + a г) a + a + a 88 Упростите выражение: а) x + x + x + в) 7 + a + a b a ab x + x x + x + x x x x x б) + г) x x x + a b a + ab + b x x x x x + x x 9 89 Используя свойства степени с рациональным показателем, докажите, что если a 0 и b 0, то: а) a x = в) a x ax a y = a x y д) (a b) x = a x b x б) a x a y = a x + y г) (a x ) y = a xy a x x a е) = b x b 90 Используя свойства степени с рациональным показателем, докажите, что: а) если a, то a x при x 0 и a x при x 0 б) если 0 a, то a x при x 0 и a x при x 0 x x в) если a и x x, то a a x x г) если 0 a и x x, то a a 9 Сравните числа: а) 7 и в), и 8, г) 0 б) и, 6 и 0, 9 Найдите значение выражения: а) + б) 9 в) 8 г) 8 7

40 а) a 76 9 Упростите выражение: a в) a π б) x π, x x г) y y y 9 Упростите выражение: + а) a b a b в) б) ( a )( a + a + a ) a a 9 Упростите выражение: a + а) б) + m в) г) m a д) a 7 b a + a b + b 7 7 г) ( x π y π + ) π xy a a ab a a + b b a a b е) xy y y y y x x y x y x + y 96 Вычислите: а) г) ( 0, ) 8 + ж) б) 9 д) 8 з) + 0 в) + е) 9 97 Найдите значение выражения: а) д) + 6 б) 7 е) в) 9 ж) ( + ) + г) з) ( ) 98 Определите, какое из чисел больше: а) 7 или 69 в) или д) б) или г) или,7 е) 9, π π или, или 9

41 99 Сравните с единицей выражение: а) в) д) π ж) 7 б) (0,0) г) 7, е) з) 00 Упростите выражение: а) a a в) b b y + + б) a a г) а) a a a 0 Упростите выражение: 0, 7, в) ( v ) v д) c c е) б) x x 7 г) y y z z x t t 0 С помощью калькулятора найдите значение выражения: а) cos г) 6 si ( ) ж) 8 ctg 7,6 к) 9, 8 б) 7, д) 06, 0 з) 7, 9 л) si 68 в) 7 е) tg 0, и) 8, м) 7 cos ( ) 0 Найдите наибольшее целое значение переменной x, удовлетворяющее неравенству: а) 7 x + x + в) t t 9 8 б) 0 y 9y + г) 8 u u Найдите сумму целых решений неравенства: а) 7 a + x 0 в) 0 д) a x + 7 b 8 б) 0 c 0 г) 7 y 0 е) c y z 0 Найдите: а) основание равнобедренного тре уголь ни ка с высотой и периметром 98 б) боковую сторону равнобедренного тре уголь ни ка с высотой 0 и площадью 0 06 Найдите площадь равнобедренного тре уголь ни ка с 8 боковой стороной, учитывая, что высота, проведенная к основанию, равна 0 77

42 07 Гипотенуза прямоугольного тре уголь ни ка втрое больше одного из его катетов Найдите радиус окруж ности, описанной около тре уголь ни ка, учитывая, что больший катет равен 08 Найдите стороны прямоугольного тре уголь ни ка, учитывая, что радиусы его описанной и вписанной окруж ностей равны 7 и 6 соответственно 09 Найдите наименьший корень уравнения, tg x = принадлежащий промежутку π 0 0 Найдите периметр тре уголь ни ка, одна сторона которого равна 7, а прилежащие к ней углы 0 и В одной системе координат постройте графики функций: а) y = x и y = x + г) y = x и y = x б) y = x и y = x + д) y = x и y = x в) y = x и y = x е) y = x и y = x В одной системе координат постройте графики функций: а) y = x и y = x + в) y = x и y = x б) y = x и y = (x + ) г) y = x и y = (x + ) Постройте график четной функции, учитывая, что она задана условием y = (x + ) : а) при положительных значениях аргумента б) при отрицательных значениях аргумента Постройте график нечетной функции, учитывая, что она задана условием y = x x: а) при положительных значениях аргумента б) при отрицательных значениях аргумента 78 Рис 6 На рисунке 6 показан график функции y = f(x) Постройте график функции:

43 а) y = f(x) в) y = f(x) д) y = f( x) ж) y = f x б) y = f(x ) г) y = f(x) е) y = f x з) y = (f(x)) 6 На рисунке 6 показан график функции y = f(x ) Постройте график функции: а) y = f(x) д) y = f( x) б) y = f(x) е) y = f x в) y = f(x) ж) y = f x г) y = f(x) з) y = (f(x)) 7 На высоте AD тре уголь ника ABC как на диаметре построена Рис 6 окруж ность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N соответственно Найдите отрезки AN и NC, учитывая, что BD = см, DC = см и AM MB = см 8 Основание равнобедренного тре уголь ни ка равно 6 см, а боковая сторона 0 см Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окруж ностей 9 Найдите медиану, проведенную к боковой стороне равнобедренного тре уголь ни ка, учитывая, что вне окруж ности, построенной на боковой стороне как на диаметре, находится 6 см основания тре уголь ни ка и см боковой стороны 7 * * * 0 Найдите все натуральные решения уравнения x + y + z = 0 Высота прямоугольного тре уголь ни ка, проведенная к гипотенузе, делит ее на части, разность которых равна этой высоте Найдите углы тре уголь ни ка В прямоугольном тре уголь ни ке ABC проведена высота CD к гипотенузе Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки A на медиану CM тре уголь ни ка BCD, делит отрезок CD пополам Докажите, что если x, то f(f(x)) = x, учитывая, что f(x) = x + + x x x Можно ли по окруж ности расставить числа. так, чтобы два любых соседних числа отличались на, или? 79

44 80 7 Степенная функция с действительным показателем Выражение x t, в котором переменные x и t могут принимать разные действительные значения, описывает разные функции в зависимости от того, значение какой переменной x или t сделать неизменным, постоянным Если зафиксировать значение переменной t, т е придать этой переменной определенное числовое значение r, то выражение x t задает степенную функцию y = x r Если зафиксировать значение переменной x, т е придать ей определенное числовое значение a, то выражение x t задает показательную функцию y = a t В этом параграфе рассмотрим степенную функцию, т е функцию вида y = x r, где x аргумент, а r некоторое действительное число Все степенные функции определены при положительных значениях аргумента При некоторых показателях r область определения степенной функции y = x r более широкая Например, степенные функции y = x 0, и y = x своими областями определения имеют соответственно множество всех неотрицательных действительных чисел и всех действительных чисел Рассмотрим сначала степенную функцию y = x r при x 0 При положительных значениях аргумента ее значениями являются все положительные действительные числа Ряд свойств степенной функции y = x r и ход ее Рис 6 графика зависят от значения показателя r Если r 0, то свойства степенной функции похожи на свойства функции y = x (рис 6) При r 0 степенная функция y = x r : убывает от + до 0 выпукла вниз, т е часть ее графика, ограниченного любыми двумя его точками, расположена ниже отрезка, Рис 6 который эти точки соединяет (рис 6)

45 Рис 66 Рис 67 Рис 68 Рис 69 y На рисунке 66 показаны графики степенных функций = x и y = x cos с отрицательными показателями и cos, которые соответственно приближенно равны,6 и 0,80 Если 0 r, то свойства степенной функции похожи на свойства функции y = x (рис 67) При 0 r степенная функция y = x r : возрастает от 0 до + выпукла вверх, т е часть ее графика, ограниченного любыми двумя его точками, расположена выше отрезка, который эти точки соединяет (рис 68) На рисунке 69 показаны графики функций y = x и y = x si с положительными меньшими единицы показателями и si, которые соответственно приближенно равны 0,79 и 0, 8