Тема 1.2.Умножение векторов на действительные числа

Литература: [1], §5, стр. 14-16; [2], §§ 2-4, стр. 14-19.

Основные определения, теоремы и формулы

Произведением вектора на действительное (вещественное) число называется вектор = , который удовлетворяет следующим условиям:

1) , где абсолютное значение числа ,

2) , если и , если <0.

Теорема: Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях равно ?

2. Что можно сказать о векторах и , если известно, что уравнение : 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?

3. Пусть . Следует ли отсюда, что = ?

Пример 1. По данным векторам и построить векторы:

Р ешение.Пусть и - данные векторы (см. рисунок):

1) Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению суммы векторов вектор .

2) Возьмем произвольную точку М пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению разности векторов .

Дан вектор . Построить векторы: а) ; б) ; в) .

Дано . Каким условиям должны удовлетворять числа и , чтобы точкаC принадлежала: 1) прямой AB, 2) лучу AB, 3) отрезку AB?

Записать с помощью векторов условие того, что четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и СD.

Точка M – середина отрезка AB, O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

В треугольнике ABC отрезки AM и AN являются соответственно медианой и биссектрисой внутреннего угла. Выразить векторы и через векторы .

Доказать, что если ABCDEF – правильный шестиугольник, то .

Угол AOB меньше развернутого. Используя векторы и , найти вектор, параллельный биссектрисе данного угла.

Задачи повышенной трудности

Точка O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и M и N - середины его противоположных сторон AB и CD лежат на одной прямой. Доказать, что четырехугольник ABCD – трапеция или параллелограмм.

Даны правильный n – угольник A1, A2, … , An с центром O и произвольная точка M пространства. Доказать, что: а) б) .

Доказать, что точка M – центр тяжести треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

Домашнее задание

По данным векторам и построить векторы:

Точка M – центр параллелограмма ABCD, а O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 направленные отрезки, совпадающие с его ребрами, определяют векторы: . Построить каждый из следующих векторов: а) + - ; б) + + ; в) - - + .

Дан вектор , длина которого равна 3. Построить вектор , если его длина равна 5, и он направлен противоположно вектору ,.

Тема 1.3.Коллинеарные и компланарные векторы.

Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в векторном пространстве.

Литература: [1], §§ 6-7, стр. 16-24; [2], §§ 6,7, стр. 19-25.

Основные определения, теоремы и формулы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема1: Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число такое, что .

Векторы и называютсякомпланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема2: Если векторы и компланарны, а векторы не коллинеарны, то существуют единственные числа и такие, что .

Рассмотрим систему векторов и зададимn действительных чисел . Вектор

называется линейной комбинацией данных векторов .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что .

Если же равенство справедливо только при , то система векторов называетсялинейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1) она упорядочена,

2) линейно независима,

3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы.

Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы и не компланарны, то для любого вектора существуют единственные числа и такие, что .

Пусть B=( ) – базис векторного пространства V и V. Если , то числа называютсякоординатами вектора относительно базиса B и записывают ( ).

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис B называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно ортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются .

Теорема 5. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисе вычисляется по формуле

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое подсистема системы векторов?

2. Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?

3. Векторы и коллинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторов и ?

4. Если векторы и компланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторов и , линейно зависима?

5. Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору , то коллинеарен »?

6. Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов; 2) противоположных векторов?

7. Может ли система, состоящая из одного вектора, быть: 1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?

8. Дан вектор относительно базисаB=( ) векторного пространстваV:

каковы координаты векторов относительно базисаB?

каковы координаты вектора относительно базисаB΄=( )?

Пример 1.Даны неколлинеарные векторы и . Коллинеарны ли векторы и ?

Решение 1. В разложении вектора вынесем за скобку :

. Тогда , что свидетельствует о том, что векторы и коллинеарны и противоположно направлены.

Решение 2. Неколлинеарные векторы и образуют базис двумерного векторного пространства. Коэффициенты в разложении векторов и по векторам и являются координатами этих векторов в указанном базисе. В этом базисе вектор Так как два вектора коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам пропорциональны, то, проверяя это условие для векторов и : , убеждаемся в их коллинеарности.

Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между векторами и , надо из определяющих их равенств, исключить векторы и . Если этого сделать нельзя, то векторы и не коллинеарны.

Из первого разложения исключим вектор а: . Из второго разложения исключим вектор . Тогда из последних равенств имеем . Отсюда: . Что и свидетельствует о коллинеарности векторов и .

Пример 2. Из точки О отложены два вектора и . Найти какой-нибудь вектор , параллелный биссектрисе угла АОВ.

Найдем орты и векторов и . Отложим их от точки O и построим на них как на сторонах ромб. Так как диагональ ромба делит его углы пополам, то вектор , направлен по биссектрисе угла АОВ.

П ример 3. Даны три вектора (3, -1 ), (1, -2 ), (-1, 7). Определить разложение вектора по базису , .

Решение. Пусть ( ) - базис, в котором заданы координаты векторов , и , и пусть вектор в этом базисе имеет координаты (p1,p2). Зная координаты векторов , и , найдем координаты вектора :p1= 3 + 1 - 1, p2= -1 -2 + 7 ), т. е. ( 3, 4 ).

Е сли и  -коэффициенты разложения вектора по базису , , то = + . Разложим векторы , и по векторам базиса ( ):

Так как два вектора равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты, то 3 = 3+, 4= - - 2 , откуда =2 , = -3. Тогда =2 - 3 .

Пример 4. Разложить ветер, идущий со скоростью 10 м/с с северо-западного направления под углом к северу, на западную и северную компоненты.

На рисунке вектор - вектор скорости ветра, а векторы и - его составляющие (восточная и южная ) компоненты. Так как АВСД - прямоугольник, то

 =  sin = 5  = = сos =5 . Значит, восточная компонента равна 5 м/с, а южная 5 м/с.

Доказать, что отношение коллинеарности векторов является отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности на множестве всех векторов?

Доказать, что если векторы и не коллинерны, то векторы + и =3 - также не коллинеарны.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, точки P и F – середины ребер AD и AA1 соответственно. Выяснить, компланарны ли векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

Даны координаты трех векторов (-2,3,4), (7,0,2) и (-6,5,-1). Найти координаты векторов -3 + и =4 +5 +3 .

Дана трапеция ABCD ( . Точки M и N – середины оснований AB и CD, P – точка пересечений диагоналей трапеции.

приняв векторы и за базисные, найти координаты векторов ;

найти координаты векторов

Установить, какие из следующих троек векторов , и линейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и : а) (6,4,2), (-9,6,3), (-3,6,3); б) (5,2,1), (-1,4,2), (-1,-1,6); в) (6,-18,12), (-8,20,-16), (8,7,3).

Среди векторов 1(0,-3,0), 2(-2,0,5), 3(0,2,-1), 4(0,0,4), 5(1,0,0), 6(0,1,-3), 7(1,-2,7), 8(0,0,0), заданных в базисе ( , указать векторы: 1)коллинеарные ; 2) компланарные с векторами и .

Даны векторы , и . Выяснить, являются ли они линейно зависимыми, если: а) (-3,0,2), (2,1,-4), (3,-2,4); б) (1,0,7), (-1,2,4), (3,2,1); в) (5,-1,4), (3,-5,2), (-1,-13,-2).

Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Приняв векторы за базисные, найти координаты вектора , гдеM – центр параллелограмма BCC1B1, N – центр тяжести треугольника A1B1C1.

Задачи повышенной трудности

Доказать, что точка C лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что = λ +(1- λ) .

Доказать, что для любых векторов , и и чисел α, β и γ векторы α - β , γ - α , β - γ компланарны.

Дана трапеция ABCD, у которой нижнее основание AB в два раза больше верхнего CD. Выразить векторы , через векторы = и = .

Домашнее задание

Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Приняв векторы за базисные, найти координаты векторов , , где M – середина отрезка AD и (BC,P)=2. ((BC,P)= означает, что ).

Найти линейную зависимость между векторами: а) (1,3,0), (5,10,0), (4,-2,6); (11,16,3); б) (2,3,1), (5,7,0), (3,-2,4); (4,12,-3); в) (0,-3,4), (5,2,0), (-6,0,1); (25,-22,16).

Определить длины суммы и разности векторов и , если известны их координаты в ортонормированном базисе: (3,-5,8), (-1,1,4).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.