Л. П. Евстафьева В. А. Евстафьев. Геометрия. Дидактические материалы 8 класс. Пособие для общеобразовательных организаций. Москва «Просвещение»

2 Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году. Проект «Российская академия наук, Российская академия образования, издательство «Просвещение» - российской школе». Руководители проекта: вице-президент РАН, акад. В.В. Козлов, президент РАО, акад. Н. Д. Никандров, доктор пед. наук, чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад.-секретарь РАО, доктор пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, доктор пед. наук М. В. Рыжаков, доктор экон. наук С. В. Сидоренко. Евстафьева Л. П. Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс: пособие для общеобразоват. организаций / Л. П. Евстафьева, В. А. Евстафьев. М. : Просвещение, с.: ил. (Академический школьный учебник). Дидактические материалы предназначены для учащихся общеобразовательных классов, работающих по учебнику А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика «Геометрия. 8 класс». Дидактические материалы содержат самостоятельные работы в четырёх вариантах к пунктам учебника и контрольные работы в двух вариантах к основным темам курса. Издательство «Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены 2

3 Содержание САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Самостоятельная работа 1. ( ) Многоугольники Самостоятельная работа 2. (1.6) Пирамида Самостоятельная работа 3. (2.1) Понятие площади. Измерение площади Самостоятельная работа 4. (2.2) Площадь прямоугольника Самостоятельная работа 5. ( ) Теорема Пифагора Самостоятельная работа 6. (3.1, 3.4) Теорема Пифагора. Вычисление длин Самостоятельная работа 7. (4.1) Площадь прямоугольного треугольника Самостоятельная работа 8. (4.1) Площадь треугольника Самостоятельная работа 9. (4.2) Формула Герона Самостоятельная работа 10. (4.3) Площадь трапеции Самостоятельная работа 11. (5.1) Параллелограмм. Свойства параллелограмма Самостоятельная работа 12. (5.2) Параллелограмм. Признаки параллелограмма Самостоятельная работа 13. (5.2) Параллелограмм. Признаки параллелограмма Самостоятельная работа 14. (5.3) Частные виды параллелограмма Самостоятельная работа 15. (5.7) Площадь параллелограмма Самостоятельная работа 16. (5.5) Параллелепипед, призма Самостоятельная работа 17. (6.1) Теорема об отношении перпендикуляра к наклонной Самостоятельная работа 18. (6.2) Определение синуса угла Самостоятельная работа 19. (6.3) Свойства синуса угла Самостоятельная работа 20. (6.4) Решение прямоугольных треугольников Самостоятельная работа 21. (6.4) Решение прямоугольных треугольников Самостоятельная работа 22. (6.5) Вычисление площади треугольника и параллелограмма Самостоятельная работа 23. (6.6) Теорема синусов 3

4 Самостоятельная работа 24. (6.6) Теорема синусов Самостоятельная работа 25. (7.1) Определение косинуса угла Самостоятельная работа 26. (7.2) Основное тригонометрическое тождество Самостоятельная работа 27. (7.2) Косинусы острых углов в прямоугольном треугольнике Самостоятельная работа 28. (7.4) Свойства косинуса и его график Самостоятельная работа 29. (7.5) Теорема косинусов Самостоятельная работа 30. (7.5) Теорема косинусов Самостоятельная работа 31. (7.8) Средняя линия треугольника и трапеции Самостоятельная работа 32. (7.8) Средняя линия треугольника и трапеции Самостоятельная работа 33. (8.1) Тангенс угла Самостоятельная работа 34. (9.1) Определение подобных треугольников Самостоятельная работа 35. (9.1) Определение подобных треугольников Самостоятельная работа 36. (9.1) Определение подобных треугольников Самостоятельная работа 37. (9.2) Признаки подобия треугольников Самостоятельная работа 38. (9.3) Свойства подобных треугольников Самостоятельная работа 39. (9.3) Свойства подобных треугольников Самостоятельная работа 40. (9.3) Свойства подобных треугольников Самостоятельная работа 41. (10.1) Подобие треугольников и параллельность. Теорема Фалеса Самостоятельная работа 42. (10.1) Свойство биссектрисы треугольника Самостоятельная работа 43. (10.3) Применение подобия при решении задач на построение Самостоятельная работа 44. (10.6) Точка пересечения медиан треугольника КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа 1. (Площадь треугольника) Контрольная работа 2. (Площади фигур) Контрольная работа 3. (Тригонометрия) Контрольная работа 4. (Подобие) 4

5 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1. ( ) МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Какова сумма углов многоугольника, полученного в пересечении треугольников АВС и MNK, если А( 2; 4); В( 3; 3); С(3; 2); М( 4; 1); N(1; 4); K(2; 2). 2. Вычислите длину стороны и величину угла между сторонами правильного восьмиугольника, если его периметр равен 96 см. Вариант 2 1. Какова сумма углов многоугольника, полученного в пересечении треугольников АВС и MNK, если А(2; 3); В( 2; 4); С( 3; 3); М( 4; 1); N(2; 5); K(2; 3). 2. Вычислите длину стороны и величину угла между сторонами правильного девятиугольника, если его периметр равен 108 см. Вариант 3 1. Какова сумма углов многоугольника, полученного в пересечении треугольников АВС и MNK, если А(2; 3); В( 2; 4); С( 3; 3); MN : y x 3 ; NK : x 2; MK : y x Постройте правильный шестиугольник со стороной 2 см. Найдите величину каждого из его углов. Какова длина диаметра окружности, на которой лежат вершины этого шестиугольника? Докажите, что большая диагональ правильного шестиугольника параллельна двум из его сторон. 5

6 Вариант 4 1. Какова сумма углов многоугольника, полученного в пересечении треугольников АВС и MNK, если А( 2; 4); В( 3; 3); С(3; 2); 1 4 MK : y x 1 ; 5 5 NK : x 1; MN : y x Постройте правильный шестиугольник со стороной 3 см. Найдите величину каждого из его углов. Какова длина диаметра окружности, на которой лежат вершины этого шестиугольника? Докажите, что среди меньших диагоналей правильного шестиугольника есть параллельные между собой. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2. (1.6) ПИРАМИДА Достройте изображение пирамиды (см. рис.) так, чтобы данный многоугольник был её основанием. Часть отрезков при этом останется «невидимыми», часть станет видимыми. Постарайтесь выбрать положение вершины Р так, чтобы наибольшее количество рёбер стало «видимым», а отрезки не накладывались друг на друга. Сколько граней у получившейся пирамиды? Сколько из них является треугольниками? Какова сумма углов всех многоугольников, являющихся гранями пирамиды? 6

7 Вариант 2 Достройте изображение пирамиды (см. рис.) так, чтобы данный многоугольник был её основанием. Часть отрезков при этом останется «невидимыми», часть станет видимыми. Постарайтесь выбрать положение вершины Р так, чтобы наибольшее количество рёбер стало «видимым», а отрезки не накладывались друг на друга. Сколько граней у получившейся пирамиды? Сколько из них является треугольниками? Какова сумма углов всех многоугольников, являющихся гранями пирамиды? Вариант 3 Достройте изображение пирамиды (см. рис.) так, чтобы данный многоугольник был её основанием. Часть отрезков при этом останется «невидимыми», часть станет видимыми. Постарайтесь выбрать положение вершины Р так, чтобы наибольшее количество рёбер стало «видимым», а отрезки не накладывались друг на друга. Сколько граней у получившейся пирамиды? Сколько из них является треугольниками? Какова сумма углов всех многоугольников, являющихся гранями пирамиды? 7

8 Вариант 4 Достройте изображение пирамиды (см. рис.) так, чтобы данный многоугольник был её основанием. Часть отрезков при этом останется «невидимыми», часть станет видимыми. Постарайтесь выбрать положение вершины Р так, чтобы наибольшее количество рёбер стало «видимым», а отрезки не накладывались друг на друга. Сколько граней у получившейся пирамиды? Сколько из них является треугольниками? Какова сумма углов всех многоугольников, являющихся гранями пирамиды? САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. (2.1) ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ 1. Площадь прямоугольника на рисунке равна S кв.ед. Чему равна площадь заштрихованной части? 2. Площадь заштрихованной части на рисунке равна Р кв.ед. Чему равна площадь прямоугольника? 8

9 3. Найдите площадь треугольника NOL (см. рис.), если площадь треугольника МОK равна а кв.ед., МK параллельна NL, а О середина MN. 4. В кубе (см. рис.) площадь заштрихованной части равна m квадратных единиц. Чему равна площадь полной поверхности куба? Вариант 2 1. Площадь прямоугольника на рисунке равна S кв.ед. Чему равна площадь заштрихованной части? 2. Площадь заштрихованной части на рисунке равна Р кв.ед. Чему равна площадь прямоугольника? 9

10 3. Найдите площадь треугольника АВО (см. рис.), если площадь треугольника COD равна а кв.ед., АВ параллельна CD, а отрезки ВА и CD равны. 4. В кубе (см. рис.) площадь заштрихованной части равна m кв. ед. Чему равна площадь полной поверхности куба? Вариант 3 1. Площадь круга на рисунке равна S. Выразите через S площадь заштрихованной части круга. 2. Площадь незаштрихованной части круга на рисунке равна а. Выразите через а площадь заштрихованной части круга. 10

11 3. Прямые KР и АС параллельны (см. рис.); KЕ = ВС; АО = ОР. Площадь треугольника ВОС равна а кв. ед., площадь треугольника РОЕ равна с кв. ед. Выразите через а и с площадь треугольника РОK. 4. В кубе (см. рис.) отмечены середины рёбер грани DD 1 C 1 C. Площадь заштрихованной части равна k кв. ед. Выразите через k площадь полной поверхности куба. Вариант 4 1. Площадь круга на рисунке равна S. Выразите через S площадь незаштрихованной части круга. 11

12 2. Площадь заштрихованной части круга на рисунке равна b. Выразите через b площадь незаштрихованной части круга. 3. Прямые KР и АС параллельны (см. рис.); PЕ = AB; KO = ОC. Площадь треугольника EOK равна g кв. ед., площадь треугольника ABO равна k кв. ед. Выразите через g и k площадь треугольника AOC. 4. В кубе (см. рис.) отмечены середины рёбер грани A 1 B 1 C 1 D 1. Площадь заштрихованной части равна р кв. ед. Выразите через р площадь полной поверхности куба. 12

13 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4. (2.2) ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 1. Длина изгороди вокруг прямоугольного участка 100 м. Длина участка больше ширины на 10 м. Какова площадь участка: а) в квадратных метрах; б) в арах? 2. Начертите два разных прямоугольника, площади которых по 12 см 2. Сравните их периметры. Вариант 2 1. Длина изгороди вокруг прямоугольного участка 120 м. Длина участка больше ширины на 20 м. Какова площадь участка: а) в квадратных метрах; б) в арах? 2. Начертите два разных прямоугольника, площади которых по 18 см 2. Сравните их периметры. 13

14 Вариант 3 1. Площадь прямоугольного участка 20 м 2. Длина участка больше ширины на 1 м. Длина и ширина выражены целым числом метров. Какова площадь квадратного участка со стороной, равной половине длины первого участка: а) в квадратных метрах; б) в арах? 2. Начертите два разных прямоугольника, площади которых по 16 см 2. Сравните их периметры. Вариант 4 1. Площадь прямоугольного участка 35 м 2. Длина участка больше ширины на 2 м. Длина и ширина выражены целым числом метров. Какова площадь квадратного участка со стороной, равной половине ширины первого участка: а) в квадратных метрах; б) в арах? 2. Начертите два разных прямоугольника, площади которых по 36 см 2. Сравните их периметры. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5. ( ) ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 1. На рисунке АС = 20, DC = 6, a b. Используя данные рисунка, вычислите длины DB и АВ. 14

15 2. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 12. Гипотенуза равна 26. Найдите периметр треугольника. Вариант 2 1. На рисунке MN = 6, KN = 16, a b. Используя данные рисунка, вычислите длины MP и KP. 2. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15. Гипотенуза равна 17. Найдите периметр треугольника. Вариант 3 1. На рисунке АВ = 6, АC = 20, a b. Используя данные рисунка, вычислите длины DB и DC. 15

16 2. Катет прямоугольного треугольника относится к гипотенузе как 5 : 13, а второй катет равен 24. Найдите периметр треугольника. Вариант 4 1. На рисунке DE = 10, EF = 24, a b. Используя данные рисунка, вычислите длины MD и FM. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника относится к катету как 17 : 8. Другой катет равен 30. Найдите периметр треугольника. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 6. (3.1, 3.4) ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН 1. По данным рисунка найдите периметр треугольника АВС. 2. На рисунке изображена прямая треугольная призма. Все её боковые грани прямоугольники. По данным рисунка найдите площадь грани CC1B 1 B. 16

17 Вариант 2 1. По данным рисунка найдите периметр треугольника АВС. 2. На рисунке изображена прямая треугольная призма. Все её боковые грани прямоугольники. По данным рисунка найдите площадь грани CC1B 1 B. Вариант 3 1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники см. рис.). По данным рисунка найдите периметр треугольника DA 1 C ВС проекция отрезка МС на некоторую прямую. МС =

18 а) В каких границах может изменяться длина ВС? б) Чему равна длина отрезка МВ, если длина ВС равна 5? в) В каких границах может изменяться длина МВ, если длина ВС больше 5? Вариант 4 1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники - см. рис.). По данным рисунка найдите периметр треугольника DA 1 B. 2. AС проекция отрезка МС на некоторую прямую. МС = 17. а) В каких границах может изменяться длина AС? б) Чему равна длина отрезка МA, если длина AС равна 15? в) В каких границах может изменяться длина МA, если длина AС меньше 15? САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 7. (4.1) ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА По данным рисунка найдите площадь треугольника АВС. 18

19 Вариант 2 По данным рисунка найдите площадь треугольника АВС. Вариант 3 По данным рисунка найдите площадь треугольника АВС на рисунке а) и треугольника РАС на рисунке б). Вариант 4 По данным рисунка найдите площадь треугольника АВС на рисунке а) и треугольника РВС на рисунке б). 19

20 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 8. (4.1) ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА 1. По данным рисунка найдите площади треугольников. 2. На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида PABCD. М середина ребра CD. По данным рисунка найдите площадь поверхности пирамиды. Вариант 2 1. По данным рисунка найдите площади треугольников. 20

21 2. На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида PABCD. М середина ребра АD. По данным рисунка найдите площадь поверхности пирамиды. Вариант 3 1. По данным рисунка найдите площадь треугольника BC 1 D. 2. На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида РАВСD. По данным рисунка найдите площадь поверхности пирамиды. 21

22 Вариант 4 1. По данным рисунка найдите площадь треугольника BА 1 D. 2. На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида РАВСD. По данным рисунка найдите площадь поверхности пирамиды. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 9. (4.2) ФОРМУЛА ГЕРОНА В треугольнике АВС сторона АВ 13 см, ВС 14 см, АС 15 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 2) используя формулу Герона. Вариант 2 В треугольнике АВС сторона АВ 10 см, ВС 17 см, АС 21 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 22

23 2) используя формулу Герона. Вариант 3 В треугольнике МРK сторона МK = 28, МР = 17, РK = 25. Найдите площадь треугольника МРK: 1) вычислив сначала высоту к стороне МK; 2) используя формулу Герона. Вариант 4 В треугольнике МРK сторона МK = 20, МР = 13, РK = 21. Найдите площадь треугольника МРK: 1) вычислив сначала высоту к стороне РK; 2) используя формулу Герона. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 10. (4.3) ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Найдите площадь трапеции ABCD по данным рисунков а) в), если стороны ВС и AD параллельны. 23

24 Вариант 2 Найдите площадь трапеции ABCD по данным рисунков а) в), если стороны ВС и AD параллельны. Вариант 3 Найдите площадь трапеции ABCD по данным рисунков а) в), если стороны ВС и AD параллельны. Вариант 4 Найдите площадь трапеции ABCD по данным рисунков а) в), если стороны ВС и AD параллельны. 24

25 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 11. (5.1) ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1. Периметр параллелограмма 18 см, длина одной из его сторон 6 см, величина одного из углов 45 о. Вычислите длины трёх оставшихся сторон, величины трёх оставшихся углов. Изобразите этот параллелограмм. 2. По данным рисунка найдите периметр параллелограмма и величину угла D. Вариант 2 1. Периметр параллелограмма 16 см, длина одной из его сторон 6 см, величина одного из углов 60 о. Вычислите длины трёх оставшихся сторон, величины трёх оставшихся углов. Изобразите этот параллелограмм. 2. По данным рисунка найдите периметр параллелограмма и величину угла С. Вариант 3 1. Периметр параллелограмма 32 см, длина одной из его сторон 9 см, величина одного из углов 135 о. Вычислите длины трёх оставшихся сторон, величины трёх оставшихся углов. Изобразите этот параллелограмм. 2. По данным рисунка найдите периметр параллелограмма и величину угла В. 25

26 Вариант 4 1. Периметр параллелограмма 24 см, длина одной из его сторон 7 см, величина одного из углов 120 о. Вычислите длины трёх оставшихся сторон, величины трёх оставшихся углов. Изобразите этот параллелограмм. 2. По данным рисунка найдите периметр параллелограмма и величину угла С. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 12. (5.2) ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1. ABCD равнобедренная трапеция. На её большем основании AD взята точка М так, что отрезки АМ и ВС равны. Докажите, что треугольник CMD равнобедренный. 2. На рисунке медиана АМ треугольника АВС продолжена за точку М на отрезок МK, равный медиане. Пусть отрезок АВ составляет 2 3 отрезка AC, а отрезок АС равен 3 см. Найдите периметр четырёхугольника АВKС. Вариант 2 1. ABCD равнобедренная трапеция. На её большем основании ВС взята точка K так, что отрезки ВK и AD равны. Докажите, что треугольник CKD равнобедренный. 26

27 2. На рисунке медиана ВМ треугольника АВС продолжена за точку М на отрезок МK, равный медиане. Пусть отрезок ВС составляет 0,8 отрезка АВ и отрезок АВ равен 2,5 см. Найдите периметр четырёхугольника АВСK. Вариант 3 1. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ АС. 35 DAB 55, ADC 125 BAC, ACB 20,. Докажите, что ABCD параллелограмм. Найдите все углы этого параллелограмма. 2. На рисунке медиана СМ треугольника АВС продолжена за точку М на отрезок МK, равный медиане. Пусть отрезок АС составляет 0,6 отрезка ВС и АС = 3 см. Найдите периметр четырёхугольника АСВK. Вариант 4 1. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD. 65 CBA 100, BDC 35, 80 DBC, BAD. Докажите, что ABCD параллелограмм. Найдите все углы этого параллелограмма. 2. На рисунке медиана РМ треугольника СРЕ продолжена за точку М на отрезок МK, равный медиане. Пусть отрезок PC составляет 1,2 отрезка РЕ и РС = 6. Найдите периметр четырёхугольника KСРЕ. 27

28 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13. (5.2) ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Восстановите параллелограмм ABCD, если даны: а) вершины A и D и точка пересечения диагоналей О (рис. а); б) сторона АВ и точка М середина CD (рис. б); в) две его стороны (рис. в). Вариант 2 Восстановите параллелограмм ABCD, если даны: а) две его стороны (рис. а); б) сторона АD и точка М середина BC (рис. б); в) вершины B и C и точка пересечения диагоналей О (рис. в). 28

29 Вариант 3 Восстановите параллелограмм ABCD, если даны: а) сторона АВ и точка М середина стороны CD (рис. а). б) диагональ АС и точка K середина АВ (рис. б). в) лучи ВС и ВА и точка пересечения диагоналей О (рис. в). Вариант 4 Восстановите параллелограмм ABCD, если даны: а) сторона АD и точка М середина стороны BC (рис. а). б) диагональ BD и точка K середина АВ (рис. б). в) лучи СА и CD и точка пересечения диагоналей О (рис. в). 29

30 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 14. (5.3) ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1. ABCD прямоугольник (см. рис.). Используя данные рисунка, найдите а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) углы треугольника АВМ. 2. ABCD ромб (см. рис.). BD = 6,2 см. Используя данные рисунка, найдите: а) периметр ромба; б) углы треугольника АCD. Вариант 2 1. ABCD прямоугольник (см. рис.). Используя данные рисунка, найдите: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) углы треугольника ADK. 30

31 2. ABCD ромб (см. рис.). BD = 4,8 см. Используя данные рисунка, найдите: а) периметр ромба; б) углы треугольника АВC. Вариант 3 1. KLMN ромб (см. рис.). Угол LKO составляет половину угла KLO. LN = 18. Найдите: а) периметр ромба; б) углы треугольника KLM; в) площадь ромба. 2. ABCD прямоугольник (см. рис.). BL и АK биссектрисы углов В и А соответственно. LK = 3; KС = 4. Найдите: 31

32 а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) площадь четырёхугольника ADLМ. Вариант 4 1. KLMN ромб (см. рис.). Угол KLO вдвое больше угла LKO. NL = 10. Найдите: а) периметр ромба; б) углы треугольника KLM; в) площадь ромба. 2. ABCD прямоугольник (см. рис.). AM и DP биссектрисы углов A и D соответственно. BP = 2; PM = 5. Найдите: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) площадь четырёхугольника DQMC. 32

33 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 15. (5.7) ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА По данным рисунка найдите площади изображённых на них параллелограммов. Вариант 2 По данным рисунка найдите площади изображённых на них параллелограммов. 33

34 Вариант 3 По данным рисунка найдите площади изображённых на них параллелограммов. Вариант 4 По данным рисунка найдите площади изображённых на них параллелограммов. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 16. (5.5) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, ПРИЗМА. 1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длины рёбер, исходящих из одной вершины, равны 6; 4 и 3,5. 2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь прямоугольника ВВ 1 D 1 D. 34

35 3. DKMD 1 K 1 M 1 прямая призма. Е середина М 1 K 1 (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь грани ММ 1 K 1 K. Вариант 2 1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длины рёбер, исходящих из одной вершины, равны 2, 4,5 и ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь прямоугольника DD 1 B 1 B. 3. DEFD 1 E 1 F 1 прямая призма. F 1 M биссектриса треугольника F 1 D 1 E 1 (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь грани FF 1 D 1 D, если F. 1D1 F1 E1 35

36 Вариант 3 1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длины рёбер, исходящих из одной вершины, равны 2,5, 4 и ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь прямоугольника АА 1 С 1 С. 3. DEFD 1 E 1 F 1 прямая призма. D 1 H биссектриса треугольника F 1 D 1 E 1 (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь грани FF 1 E 1 E. 36

37 Вариант 4 1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длины рёбер, исходящих из одной вершины, равны 2, 4,5 и ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь прямоугольника АА 1 С 1 С. 3. DEFD 1 E 1 F 1 прямая призма. Е 1 K медиана треугольника F 1 D 1 E 1. FE = ED (см. рис.). Найдите по данным рисунка площадь грани DD 1 E 1 E. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 17. (6.1) ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К НАКЛОННОЙ AB AC BC DE DE 1. По данным рисунка найдите отношения отрезков. AC CD DE CD EF 2. На луче отложены 5 равных отрезков (см. рис.) 37

38 Назовите какую-нибудь пару отрезков, отношение которых равно: а) 2; б) 3 2 ; в) 2 5 ; г) 1. AC CB AC BC 3. Используя данные рисунка, найдите отношения. CB AC AB AB Вариант 2 AB BC CE EF CD 1. По данным рисунка найдите отношения отрезков. BC DE EF CD DE 2. На луче отложены 5 равных отрезков (см. рис.) Назовите какую-нибудь пару отрезков, отношение которых равно: а) 2; б) 2 3 ; в) 5 2 ; г) 1. BC AC AC BC 3. Используя данные рисунка, найдите отношения. AB AB BC AC 38

39 Вариант 3 AC CD DE CD FE 1. По данным рисунка найдите отношения отрезков. AB AC BC DE DE 2. На луче отложены 5 равных отрезков (см. рис.) Назовите какую-нибудь пару отрезков, отношение которых равно: а) 0,5; б) 1,5; в) 0,4; г) СН высота треугольника ABC (см. рис.). По данным рисунка вычислите AC BC отношения ;. Найдите длину СН и проверьте, что CB AB CH BC. AC AB Вариант 4 BC DE EF CD DE 1. По данным рисунка найдите отношения отрезков. AB BC CE EF CD 2. На луче отложены 5 равных отрезков (см. рис.) Назовите какую-нибудь пару отрезков, отношение которых равно: 39

40 а) 0,5; б) 1,5; в) 1; г) 0,4. AC BC 3. СН высота треугольника ABC (см. рис.). Вычислите отношения ;. CB AB AC BC Найдите длину СН и проверьте, что 1. CH AB САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 18. (6.2) ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА УГЛА 1. По данным рисунка определите синусы углов 1 и 2. Ответ запишите в десятичных дробях. 2. По данным рисунка определите sin A. 3. По данным рисунка определите sin α. 40

41 Вариант 2 1. По данным рисунка определите синусы углов 1 и 2. Ответ запишите в десятичных дробях. 2. По данным рисунка определите sin A. 3. По данным рисунка определите sin α. Вариант 3 1. По данным рисунка определите синусы углов 1 и По данным рисунка определите sin B. 41

42 3. По данным рисунка определите sin α. Вариант 4 1. По данным рисунка определите синусы углов 1 и По данным рисунка определите sin A. 3. По данным рисунка определите sin α. 42

43 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 19. (6.3) СВОЙСТВА СИНУСА УГЛА 1. Существует ли треугольник, в котором синус угла равен: а) ; б) 5 2 ; в) 15 18? Известно, что sin M оказаться: а) равными; б) неравными? , а sin N 0,36. Могут ли эти углы 5 3. Сравните острые углы А и В, если 3 2 sin A 3, а 2 sin B Постройте острый угол, синус которого равен 4 1. Вариант 2 1. Существует ли треугольник, в котором синус угла равен: а) ; б) 10 3 ; в) 23? Известно, что sin M оказаться: а) равными; б) неравными? , а sin N 0,64. Могут ли эти углы 5 3. Сравните острые углы А и В, если 5 sin A, а sin B Постройте острый угол, синус которого равен

44 Вариант 3 1. Существует ли треугольник, в котором синус угла равен: а) ; б) 10 3 ; в) ? 2. Известно, что sin M оказаться: а) равными; б) неравными? , а sin N 0,36. Могут ли эти углы Сравните острые углы А и В, если 4 3 sin A 7, а 9 sin B Постройте острый угол, синус которого равен 0,4. Вариант 4 1. Существует ли треугольник, в котором синус угла равен: а) в) 11 4? ; б) 17 4 ; 2. Известно, что sin M оказаться: а) равными; б) неравными? , а sin N 0,64. Могут ли эти углы Сравните острые углы А и В, если sin A 25, а sin B Постройте острый угол, синус которого равен 0,7. 44

45 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20. (6.4) РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. В прямоугольном треугольнике АВС: Найдите sin B. 3 sin A, гипотенуза АВ = В треугольнике АВС : АВ = ВС = 13, АС = 10. Найдите синус внешнего угла, смежного с углом А В прямой треугольной призме, изображённой на рисунке, sin B1. 5 Докажите, используя данные рисунка, что СС 1 А 1 А квадрат. Вариант 2 1. В прямоугольном треугольнике АВС: Найдите sin A. 4 sin B, гипотенуза АВ = В треугольнике АВС : АВ = ВС, АС = 10, медиана ВМ = 12. Найдите синус угла, вертикального углу А В прямой треугольной призме, изображённой на рисунке, sin A1. 5 Докажите, используя данные рисунка, что СС 1 В 1 В квадрат. 45

46 Вариант 3 1. В прямоугольном треугольнике АВС: sin A. 5 sin B, гипотенуза АВ = а. Найдите В тетраэдре РАВС (см. рис.): PA = 13, РС = 5, PB 106 sin CAB.. Определите 4 3. В прямой треугольной призме, изображённой на рисунке, sin A1. 5 Найдите, используя данные рисунка, длину отрезка В 1 С. 46

47 Вариант 4 1. В прямоугольном треугольнике АВС: sin B. 12 sin A, гипотенуза АВ = а. Найдите В тетраэдре ЕМKС (см. рис.): EK = 15, EM = 9, EC 106 sin MKC.. Определите 4 3. В прямой треугольной призме, изображённой на рисунке, sin A1. 5 Найдите, используя данные рисунка, длину отрезка АВ 1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 21. (6.4) РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 5 см. Используя калькулятор, таблицы синусов, вычислите приближённо его гипотенузу и углы. Сравните с результатами измерений. 47

48 2. Постройте равнобедренный треугольник со сторонами 3,5 см, 3,5 см и 5,6 см. Используя таблицу синусов и калькулятор, вычислите его углы. Сравните с результатами измерений. Вариант 2 1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 5 см. Используя калькулятор, таблицы синусов, вычислите приближённо его гипотенузу и углы. Сравните с результатами измерений. 2. Постройте равнобедренный треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 4,8 см. Используя таблицу синусов и калькулятор, вычислите его углы. Сравните с результатами измерений. Вариант 3 1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см. Используя калькулятор, таблицы синусов, вычислите приближённо его гипотенузу и углы. Сравните с результатами измерений. 2. Постройте равнобедренный треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 6,4 см. Используя таблицу синусов и калькулятор, вычислите его углы. Сравните с результатами измерений. Вариант 4 1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 4 см. Используя калькулятор, таблицы синусов, вычислите приближённо его гипотенузу и углы. Сравните с результатами измерений. 2. Постройте равнобедренный треугольник со сторонами 3,5 см, 3,5 см и 4,2 см. Используя таблицу синусов и калькулятор, вычислите его углы. Сравните с результатами измерений. 48

49 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 22. (6.5) ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1. В треугольнике АВС угол А равен 38, AB = 4 см, AC = 6 см. Вычислите его площадь с точностью до 0, Площадь параллелограмма ABCD равна 8 см 2, BA = 4 см, угол В равен 150. Найдите ВС. 3. Площадь треугольника АВС равна 6 см 2, CA = 4 см, CB = 6 см. Найдите величину угла С. Вариант 2 1. В треугольнике АВС угол В равен 42, AB = 6 см, BC = 5 см. Вычислите его площадь с точностью до 0, Площадь параллелограмма ABCD равна 18 см 2, BA = 4 см, угол А равен 30. Найдите AD. 3. Площадь треугольника АВС равна 12 см 2, BA = 8 см, CB = 6 см. Найдите величину угла В. Вариант 3 1. В треугольнике АВС угол С равен 63, CA = 4 см, CB = 5 см. Вычислите его площадь с точностью до 0, Площадь параллелограмма ABCD равна 4 см 2, BC = 8 см, угол В равен 150. Найдите ВА. 3. Площадь треугольника АВС равна 6 см 2, AB = 3 см, AC = 8 см, Найдите величину угла А. 49

50 Вариант 4 1. В треугольнике АВС угол А равен 47, AB = 4 см, AC = 5 см. Вычислите его площадь с точностью до 0, Площадь параллелограмма ABCD равна 12 см 2, DA = 6 см, угол D равен 150. Найдите CD. 3. Площадь треугольника АВС равна 12 см 2, CA = 8 см, CB = 6 см. Найдите величину угла C. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 23. (6.6) ТЕОРЕМА СИНУСОВ 1. В треугольнике АВС угол А равен 30, сторона АС равна 8, синус угла В равен 0,8. Найдите длину стороны ВС. 2. В прямоугольном треугольнике с углом 30º меньший из катетов равен 10. Найдите длину другого катета, используя теорему синусов. Вариант 2 1. В треугольнике АВС угол А равен 150, сторона АВ равна 3, синус угла С равен 0,3. Найдите длину стороны ВС. 2. В прямоугольном треугольнике с углом 60º меньший из катетов равен 9. Найдите длину другого катета, используя теорему синусов. Вариант 3 1. В треугольнике АВС угол А равен 30, сторона АВ равна 6, синус угла С равен 0,6. Найдите длину стороны ВС. 50

51 2. В прямоугольном треугольнике с углом 30º больший из катетов равен 10. Найдите длину другого катета, используя теорему синусов. Вариант 4 1. В треугольнике АВС угол А равен 150, сторона АС равна 10, синус угла В равен 0,2. Найдите длину стороны ВС. 2. В прямоугольном треугольнике с углом 60º больший из катетов равен 12. Найдите длину другого катета, используя теорему синусов. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 24. (6.6) ТЕОРЕМА СИНУСОВ В треугольнике MNP угол M равен 30, угол N равен 70,сторона PN равна 2 см. Найдите величину угла Р, длины отрезков МР, MN, площадь треугольника MNP и PQ высоту треугольника. Вычисления можно проводить с помощью калькулятора. Постройте треугольник MNP при помощи циркуля, линейки и транспортира. Сравните теоретические результаты с результатами, полученными на практике. Вариант 2 В треугольнике MNP угол N равен 30, угол M равен 80,сторона MP равна 4 см. Найдите величину угла Р, длины отрезков NР, MN, площадь треугольника MNP и MQ высоту треугольника. Вычисления можно проводить с помощью калькулятора. Постройте треугольник MNP при помощи циркуля, линейки и транспортира. Сравните теоретические результаты с результатами, полученными на практике. 51

52 Вариант 3 В треугольнике MNP угол N равен 30, угол M равен 70, сторона PN равна 2 см. Найдите величину угла Р, длины отрезков МР, MN, площадь треугольника MNP и PQ высоту треугольника. Вычисления можно проводить с помощью калькулятора. Постройте треугольник MNP при помощи циркуля, линейки и транспортира. Сравните теоретические результаты с результатами, полученными на практике. Вариант 4 В треугольнике MNP угол M равен 30, угол N равен 80, сторона MP равна 4 см. Найдите величину угла Р, длины отрезков NР, MN, площадь треугольника MNP и MQ высоту треугольника. Вычисления можно проводить с помощью калькулятора. Постройте треугольник MNP при помощи циркуля, линейки и транспортира. Сравните теоретические результаты с результатами, полученными на практике. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 25. (7.1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОСИНУСА УГЛА 1. Постройте с помощью транспортира угол А, равный 44º, и угол В, равный 148º. Сделав необходимые построения и измерения, найдите косинусы углов A и В с точностью до 0,1. 2. В прямоугольном треугольнике с катетами 9 ед. и 12 ед. найдите косинус меньшего из острых углов. 52

53 Вариант 2 1. Постройте с помощью транспортира угол А, равный 36º, и угол В, равный 152º. Сделав необходимые построения и измерения, найдите косинусы углов A и В с точностью до 0,1. 2. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 ед. и 8 ед. найдите косинус меньшего из острых углов. Вариант 3 1. Постройте с помощью транспортира угол А, равный 52º, и угол В, равный 133º. Сделав необходимые построения и измерения, найдите косинусы углов A и В с точностью до 0,1. 2. В прямоугольном треугольнике с катетами 9 ед. и 12 ед. найдите косинус большего из острых углов. Вариант 4 1. Постройте с помощью транспортира угол А, равный 72º, и угол В, равный 115º. Сделав необходимые построения и измерения, найдите косинусы углов A и В с точностью до 0,1. 2. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 ед. и 8 ед. найдите косинус большего из острых углов. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 26. (7.2) ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО 1. cos A = 0,6. Найдите sin A. 2. sin A = 0,6 и угол А тупой. Найдите его косинус. 53

54 3. Могут ли быть косинусом и синусом одного и того же угла числа: а) и ; б) и ; в) и? 3 3 Вариант 2 1. cos B = 0,8. Найдите sin B. 2. sin B = 0,8 и угол В тупой. Найдите его косинус. 3. Могут ли быть косинусом и синусом одного и того же угла числа: а) и ; б) и ; в) и? Вариант 3 1. cos A = 0,6. Найдите sin A. 2. sin A = 8 17 и угол А тупой. Найдите его косинус. 3. Могут ли быть косинусом и синусом одного и того же угла числа: а) и ; б) и ; в) и? 13 Вариант 4 1. cos B = 0,8. Найдите sin B. 2. sin B = 5 13 и угол В тупой. Найдите его косинус. 3. Могут ли быть косинусом и синусом одного и того же угла числа: а) и ; б) и ; в) и?

55 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 27. (7.2) КОСИНУСЫ ОСТРЫХ УГЛОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 1. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН к гипотенузе. AH 2,4, cos A 0,2. Найдите АС, АВ. 2. Найдите площадь поверхности прямой треугольной призмы с высотой 10, если в треугольнике АВС (основание призмы) угол С прямой, cos A 0,6, AB 10. Вариант 2 1. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН к гипотенузе. BH 3,6, cos B 0,3. Найдите ВС, АВ. 2. Найдите площадь поверхности прямой треугольной призмы с высотой 10, если в треугольнике АВС (основание призмы) угол С прямой, cos B 0,8, AB 10. Вариант 3 1. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН к гипотенузе. AH 3,6, cos A 0,3. Найдите АС, АВ. 2. Найдите площадь поверхности прямой треугольной призмы с высотой 10, если в треугольнике АВС (основание призмы) угол С прямой, AB 8,5. 8 cos A, 17 55

56 Вариант 4 1. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН к гипотенузе. BH 6, cos B 0,25. Найдите ВС, АВ. 2. Найдите площадь поверхности прямой треугольной призмы с высотой 10, если в треугольнике АВС (основание призмы) угол С прямой, AB 8,5. 15 cos B, 17 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 28. (7.4) СВОЙСТВА КОСИНУСА И ЕГО ГРАФИК 1. Сравните углы А и В, если: а) 5 cos A 0,3; cos B ; б) 17 2 cos A 0; cos B ; 5 в) cos A 0,7; cos B 0,7 ; 2. Существует ли угол, косинус которого равен значению данного выражения: а) 5 2 ; б) ; в) sin30? Вариант 2 1. Сравните углы А и В, если: а) 8 cos A ; cos B 0,7 ; б) 13 5 cos A ; cos B 0 ; 10 в) cos A 0,9; cos B 0,9. 2. Существует ли угол, косинус которого равен значению данного выражения: 7 а) ; б) ; в)sin60 56

57 Вариант 3 1. Сравните углы А и В, если: а) 7 cos A 0,6; cos B ; б) 11 7 cos A 0; cos B ; 12 в) cos A 0,4; cos B 0,4 ; 2. Существует ли угол, косинус которого равен значению данного выражения: а) 6 4 ; б) ; в) sin120? Вариант 4 1. Сравните углы А и В, если: а) 7 cos A 0,4; cos B ; б) cos A ; cos B 0; 5 в) cos A 0,35; cos B 0, Существует ли угол, косинус которого равен значению данного выражения: 7 а) ; б) ; в)sin150 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 29. (7.5) ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 1. В треугольнике MNK: KN 6; KM 8; K 60. Найдите длину стороны МN и площадь треугольника. 2. В треугольнике со сторонами 5, 12 и 15 найдите величину большего угла с точностью до 1. 57

58 Вариант 2 1. В треугольнике АВС: BA 8; BC 10; B 120. Найдите длину стороны АС и площадь треугольника. 2. В треугольнике со сторонами 6, 13 и 15 найдите величину меньшего угла с точностью до 1. Вариант 3 1. В треугольнике MNK: KN 9 ; KM 12 ; K 60. Найдите длину стороны МN и площадь треугольника. 2. В треугольнике со сторонами 6, 13 и 15 найдите величину большего угла с точностью до 1. Вариант 4 1. В треугольнике АВС: BA 12; BC 10; B 120. Найдите длину стороны АС и площадь треугольника. 2. В треугольнике со сторонами 5, 12 и 15 найдите величину меньшего угла с точностью до 1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 30. (7.5) ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 1. В треугольнике АВС: BC 10; B 120 ; AC Найдите длину ВА и площадь треугольника. 58

59 2. Найдите периметр грани АВВ 1 А 1 прямой треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1, в основании которой лежит треугольник АВС (см. задачу 1), если cos A BA 0,8. 1 Вариант 2 1. В треугольнике MNK: KM 2; K 150 ; MN Найдите длину KN и площадь треугольника. 2. Найдите периметр грани KNN 1 K 1 прямой треугольной призмы MNKM 1 N 1 K 1, в основании которой лежит треугольник MNK (см. задачу 1), если cos KK N 0,8. 1 Вариант 3 1. В треугольнике АВС: BC 5; B 120 ; AC 161. Найдите длину ВА и площадь треугольника. 2. Найдите периметр грани АВВ 1 А 1 прямой треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1, в основании которой лежит треугольник АВС (см. задачу 1), если cos A BA 0,6. 1 Вариант 4 1. В треугольнике MNK: KM 4; K 60 ; MN Найдите длину KN и площадь треугольника. 2. Найдите периметр грани KNN 1 K 1 прямой треугольной призмы MNKM 1 N 1 K 1, в основании которой лежит треугольник MNK (см. задачу 1), если cos KK N 0,

60 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 31. (7.8) СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ 1. В прямоугольном треугольнике MNK: катеты MK 6, NK 10 ; А, В, С соответственно середины MN, NK и KM. Найдите площади треугольников АВС и MNK. Какую часть составляет площадь треугольника АВС от площади треугольника MNK? 2. В трапеции ABCD М и K середины боковых сторон АВ и CD. а) Найдите длину МK, если AD = 15, ВС = 9; б) найдите AD, если МK = 15, ВС = 9. Вариант 2 1. В прямоугольном треугольнике АВС: катеты AC 8, BC 12; M, N, K соответственно середины АС, АВ и ВС. Найдите площади треугольников АВС и MNK. Какую часть составляет площадь треугольника MNK от площади треугольника АВС? 2. В трапеции ABCD М и K середины боковых сторон АВ и CD. а) Найдите длину МK, если AD = 8, ВС = 4; б) найдите ВС, если МK = 4, AD = 8. Вариант 3 1. В прямоугольном треугольнике MNK: катеты MK 8, NK 10 ; А, В, С соответственно середины MN, NK и KM. Найдите площади треугольников АВС и MNK. Какую часть составляет площадь треугольника АВС от площади треугольника MNK? 2. В трапеции ABCD М и K середины боковых сторон АВ и CD. а) Найдите длину МK, если AD = 19, ВС = 7; б) найдите ВС, если МK = 19, ВС = 7. 60

61 Вариант 4 1. В прямоугольном треугольнике АВС: катеты AC 6, BC 8; M, N, K соответственно середины АС, АВ и ВС. Найдите площади треугольников АВС и MNK. Какую часть составляет площадь треугольника MNK от площади треугольника АВС? 2. В трапеции ABCD М и K середины боковых сторон АВ и CD. а) Найдите длину МK, если AD = 14, ВС = 6; б) найдите ВС, если МK = 6, AD = 14. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 32. (7.8) СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ 1. M, N, K, P середины сторон четырёхугольника ABCD (см. рис.). АС = BD = 6. Найдите периметр MNKP. 2. Средняя линия трапеции равна 8 единицам, площадь трапеции 12 квадратным единицам. Определите длину высоты трапеции. Вариант 2 1. M, N, K, P середины сторон четырёхугольника ADCB (см. рис.), диагонали которого взаимно перпендикулярны. BD = 8, АС = 6. Найдите площадь MNKP. 61

62 2. Высота трапеции равна 4 единицам, площадь трапеции 12 квадратным единицам. Определите длину средней линии трапеции. Вариант 3 1. M, N, K, P середины сторон четырёхугольника DABC (см. рис.). АС = BD = 10. Найдите периметр MNKP. 2. Средняя линия трапеции равна 12 единицам, площадь трапеции 20 квадратным единицам. Определите длину высоты трапеции. Вариант 4 1. M, N, K, P середины сторон четырёхугольника ADCB (см. рис.), диагонали которого взаимно перпендикулярны. BD = 14, АС = 10. Найдите площадь MNKP. 62

63 2. Высота трапеции равна 6 единицам, площадь трапеции 32 квадратным единицам. Определите длину средней линии трапеции. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 33. (8.1) ТАНГЕНС УГЛА 1. sin A 0,6, угол А тупой. Найдите cos A, tg A. 2. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 10, ВС = 16. Найдите tg B. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС = 12, гипотенуза АВ = 15. Найдите tg А. 4. В равнобедренной трапеции ABCD основания ВС = 4, AD = 10. Найдите высоту трапеции, если 2 tg B. 3 Вариант 2 1. cos A 0,6. Найдите sin A, tg A. 2. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 12, ВС = 8. Найдите tg B. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС = 9, гипотенуза АВ = 15. Найдите tg А. 63

64 4. В прямоугольной трапеции ABCD основания ВС = 4, AD = 10. Найдите 3 высоту трапеции, если tg B. 2 Вариант 3 1. sin A 0,8, угол А тупой. Найдите cos A, tg A. 2. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 9, ВС = 18. Найдите tg B. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС = 16, гипотенуза АВ = 20. Найдите tg А. 4. В равнобедренной трапеции ABCD основания ВС = 4, AD = 8. Найдите высоту трапеции, если Вариант 4 5 tg B cos A 0,8. Найдите sin A, tg A. 2. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 6, ВС = 2. Найдите tg B. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС = 12, гипотенуза АВ = 20. Найдите tg В. 4. В равнобедренной трапеции ABCD основания ВС = 2, AD = 9. Найдите высоту трапеции, если 1 tg B. 2 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 34. (9.1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Стороны треугольника 10 см, 12 см, 18 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, с коэффициентом 1,5. 64

65 2. Проверьте подобие треугольников со сторонами АВ = 20 см, ВС = 24 см, АС = 36 см и МK = 27 см, KР = 18 см, МР = 15 см. Если треугольники подобны, вычислите коэффициент подобия, запишите равенство трёх отношений сторон треугольников. Вариант 2 1. Стороны треугольника 12 см, 18 см, 24 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, с коэффициентом Проверьте подобие треугольников со сторонами АВ = 20 см, ВС = 25 см, АС = 35 см и МK = 14 см, KР = 10 см, МР = 8 см. Если треугольники подобны, вычислите коэффициент подобия, запишите равенство трёх отношений сторон треугольников. Вариант 3 1. Стороны треугольника 8 см, 10 см, 16 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, с коэффициентом 1,5. 2. Проверьте подобие треугольников с данными сторонами. Если треугольники подобны, вычислите коэффициент подобия, запишите равенство трёх отношений сторон треугольников. а) АВ = 21 см, ВС = 24 см, АС = 42 см и МK = 28 см, KР = 16 см, МР = 14 см. б) АВ = 12 см, ВС = 10 см, АС = 11 см и МK = 22 см, KР = 5 см, МР = 24 см. в) АВ = 10 см, ВС = 14 см, АС = 24 см и МK = 20 см, KР = 28 см, МР = 48 см. 65

66 Вариант 4 1. Стороны треугольника 12 см, 18 см, 24 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, с коэффициентом Проверьте подобие треугольников с данными сторонами. Если треугольники подобны, вычислите коэффициент подобия, запишите равенство трёх отношений сторон треугольников. а) АВ = 20 см, ВС = 30 см, АС = 40 см и МK = 24 см, KР = 18 см, МР = 12 см. б) АВ = 16 см, ВС = 10 см, АС = 12 см и МK = 20 см, KР = 28 см, МР = 24 см. в) АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 27 см и МK = 8 см, KР = 10 см, МР = 18 см. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 35. (9.1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Докажите подобие прямоугольных треугольников АВС и MNK, с прямыми углами С и N соответственно, если АВ = 13, АС = 5, MN = 24, МK = 10. Докажите, что меньшие углы этих треугольников равны. 2. Докажите подобие треугольников АВС и MNK, если АВ = 8, ВС = 10, 1 cos B, MN = 4, NK = 5, N B. 8 Вариант 2 1. Докажите подобие прямоугольных треугольников АВС и MNK, с прямыми углами С и N соответственно, если СА = 15, СВ = 20, MN = 10, МK = 12,5. Докажите, что бо льшие острые углы этих треугольников равны. 2. Докажите подобие треугольников АВС и MNK, если АВ = 10, ВС = 12, cos B = 0,2, MN = 5, NK = 6, N B. 66

67 Вариант 3 1. Докажите подобие прямоугольных треугольников АВС и MNK, с прямыми 5 углами С и N соответственно, если СА = 5, СВ = 12, MK = 26, cos M. 13 Докажите, что меньшие углы этих треугольников равны. 2. Проверьте подобие треугольников АВС и MNK, если АВ = 6, ВС = 8, 11 cos B, MN = 3, NK = 4, N B. 24 Вариант 4 1. Докажите подобие прямоугольных треугольников АВС и MNK, с прямыми 4 углами С и N соответственно, если CА = 15, СВ = 20, MN = 16, sin K. 5 Докажите, что бо льшие углы этих треугольников равны. 2. Докажите подобие треугольников АВС и MNK, если АВ = 10, ВС = 12, 1 cos B, MN = 5, NK = 6, N B. 3 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 36. (9.1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В треугольнике АВС: A 60, АВ = 4, АС = 8. В треугольнике МРK: MK 12 ; РK = 4; РМ = 2. Докажите подобие треугольников АВС и МРK. Докажите, что угол Р равен углу А. 67

68 Вариант 2 В треугольнике АВС: BC 4 7 ; АВ = 4; АС = 8. В треугольнике МРK: P 120, РK = 4, РМ = 2. Докажите подобие треугольников АВС и МРK. Докажите, что угол А равен углу Р. Вариант 3 В треугольнике АВС: B 60 ; ВА = 8; ВС = 6. В треугольнике МРK: PK 13 ; МР = 4; МK = 3. Докажите подобие треугольников АВС и МРK. Докажите, что угол М равен углу В. Вариант 4 В треугольнике АВС: BC 2 37 ; ВА = 8; ВС = 6. В треугольнике МРK: M 120 ; МР = 4; МK = 3. Докажите подобие треугольников АВС и МРK. Докажите, что угол В равен углу М. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 37. (9.2) ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. В треугольнике АВС: B 48 ; ВА = 2,4; ВС = 3,6. В треугольнике МРK: K 48 ; KМ = 4,8; KР = 1,8. В треугольнике EFL: E 48 ; EF = 3,6; EL = 5,4. Найдите среди указанных треугольников пару подобных (объясните, почему вы так считаете) или докажите, что таких нет. 68

69 2. В треугольнике АВС: A 32 ; B 100. В треугольнике MNK: N 48 ; M 32. Докажите подобие этих треугольников. Составьте равенство трёх отношений сторон треугольников. Вариант 2 1. В треугольнике АВС: B 25 ; ВА = 3,6; ВС = 4,8. В треугольнике МРK: K 25 ; KМ = 3,2; KР = 2,4. В треугольнике EFL: E 25 ; EF = 6,4; EL = 3,6. Найдите среди указанных треугольников пару подобных (объясните, почему вы так считаете) или докажите, что таких нет. 2. В треугольнике АВС: A 42 ; B 100. В треугольнике MNK: N 38 ; M 42. Докажите подобие этих треугольников. Составьте равенство трёх отношений сторон треугольников. Вариант 3 1. В треугольнике АВС: B 120; ВА = 4,2; ВС = 4,8. В треугольнике МРK: cos K 0,5; KМ = 2,8; KР = 3,2. В треугольнике EFL: 3 sin E ; EF = 5,6; EL = 6,4. 2 Возможно ли доказать подобие каких-либо пар треугольников по этим данным? 2. В треугольнике АВС: A 29 ; B 57. В треугольнике MNK: N 29 ; M 94. Докажите подобие этих треугольников. Составьте равенство трёх отношений сторон треугольников. 69

70 Вариант 4 1. В треугольнике АВС: B 135 ; ВА = 2,4; ВС = 3,6. В треугольнике МРK: 2 sin K ; KМ = 4,8; KР = 7,2. 2 В треугольнике EFL: 2 cos E ; EF = 3,6; EL = 5,4. 2 Возможно ли доказать подобие каких-либо пар треугольников по этим данным? 2. В треугольнике АВС: A 62 ; B 36. В треугольнике MNK: N 36 ; M 82. Докажите подобие этих треугольников. Составьте равенство трёх отношений сторон треугольников. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 38. (9.3) СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и K. При этом оказалось, что АМ = 2, МВ = 4, ВK = 3, KС = 5. 1) Найдите подобные треугольники, докажите их подобие. 2) Найдите длину отрезка МK, если АС = 12. 3) Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВK? Вариант 2 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и K. При этом оказалось, что АМ = 6, МВ = 4, ВK = 5, KС = 3. 1) Найдите подобные треугольники, докажите их подобие. 2) Найдите длину отрезка МK, если АС =

71 3) Какую часть площадь треугольника МВK составляет от площади треугольника АВС? Вариант 3 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и K. При этом оказалось, что АМ = 8, МВ = 4, ВK = 6, KС = 2. 1) Найдите подобные треугольники, докажите их подобие. 2) Найдите длину отрезка МK, если АС = 10. 3) Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади четырёхугольника KАМС? Вариант 4 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и K. При этом оказалось, что АМ = 4, МВ = 2, ВK = 3, KС = 1. 1) Найдите подобные треугольники, докажите их подобие. 2) Найдите длину отрезка МK, если АС = 8. 3) Какую часть площадь четырёхугольника KМАС составляет от площади треугольника АВС? САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 39. (9.3) СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ABCD трапеция (ВС AD). О точка пересечения диагоналей трапеции. АО = 6, ОС = 2, AD = 9. 1) Найдите длину отрезка ВС; 71

72 2) Во сколько раз площадь треугольника AOD больше площади треугольника ВОС? Вариант 2 ABCD трапеция (ВС AD). О точка пересечения диагоналей трапеции. ВС = 2, ОВ = 3, ОD = 9. 1) Найдите длину отрезка AD; 2) Какую часть площадь треугольника ВОС составляет от площади треугольника AOD? Вариант 3 ABCD трапеция (ВС AD). О точка пересечения диагоналей трапеции. ВС = 6, ОА = 3, AD = 9. 1) Найдите длину отрезка OD; 2) Во сколько раз площадь треугольника AOD больше площади треугольника ВОС? Вариант 4 ABCD трапеция (ВС AD). О точка пересечения диагоналей трапеции. ВС = 4, ОВ = 2, АD = 10. 1) Найдите длину отрезка ОD; 2) Какую часть площадь треугольника ВОС составляет от площади треугольника AOD? 72