Учебник. Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).

Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства.

sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).

Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению

sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α. cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.

Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).

Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла

Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем

BC 2 = AB 2 + AC 2 .

Но с другой стороны, так как cos 90° = 0

AB 2 + AC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos 90° = BC 2 .

На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол , . Пусть треугольник. Докажем, что

BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos α.

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.

Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между , либо точка C – между Поэтому справедливы следующие равенства: AB 2 = AD 2 + BD 2 ; BC 2 = CD 2 + BD 2 ; AD = AB cos α; CD = |AC – AD|. Из первых двух равенств, исключая BD 2 , получим BC 2 = AB 2 + CD 2 – AD 2 . Подставляя из последнего равенства выражение для CD, имеем: BC 2 = AB 2 + (|AC – AD|) 2 – AD 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC ⋅ AD. С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство: BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos α.
Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между Поэтому справедливы равенства: ; ; ; CD = AC + AD. Имеем: . С учётом последнего равенства .

Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учётом этого, окончательно получаем

BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos α.

К доказательству теоремы косинусов К доказательству теоремы косинусов

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т. е.

a sin α = b sin β = c sin γ .

Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им Докажем, что a sin α = b sin β = c sin γ .

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).

Пусть все углы Δ ABC острые. Тогда из прямоугольного треугольника BCD. Аналогично из треугольника Приравнивая правые части, или a sin α = c sin γ . Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую (AB), получим , из Δ BCE. И, сравнивая эти равенства, имеем a sin α = b sin β . Окончательно из полученных равенств имеем a sin α = b sin β = c sin γ .
Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD = a sin (180° – γ) = a sin γ из Δ BCD, из Δ ABD. Отсюда или a sin α = c sin γ . Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую (AB) и рассуждая аналогично пункту 1, получим a sin α = b sin β и, окончательно, a sin α = b sin β = c sin γ . Теорема доказана.

Пусть даны два Δ ABC и A1B1C1 и углы при одного треугольника равны углам при соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть A 1 B 1 A B = B 1 C 1 B C = A 1 C 1 A C .

Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем

A B sin ( ∠ C ) = B C sin ( ∠ A ) = A C sin ( ∠ B ) .

Аналогично из Δ A1B1C1 получим

A 1 B 1 sin ( ∠ C 1 ) = B 1 C 1 sin ( ∠ A 1 ) = A 1 C 1 sin ( ∠ B 1 ) .

Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим

Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причём α < β. Тогда

sin β = A B A C ; sin α = A B A D , но sin β sin α = A B A C ⋅ A D A B = A D AC > 1.

sin β > sin α, что и требовалось доказать.

Заметим, что, если α – острый угол, то

sin α < 1 = sin 90 ∘ .

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности , то , но и по лемме 5.2 и . Bторое утверждение следует

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них

Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда . Отсюда , и утверждение теоремы верно.

Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что . Опустим перпендикуляр CD на прямую AB. лежат на данной прямой и по доказанному . и по построению и свойству наклонной. Отсюда . Теорема доказана.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).

Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства. sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).

Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α. cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.

Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).

Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника ABC равен 90°. Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем BC 2 = AB 2 + AC 2 . Но с другой стороны, так как cos 90° = 0 AB 2 + AC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos 90° = BC 2 . Теорема верна.

На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол α – острый, в третьем – тупой. Пусть ABC – данный треугольник. Докажем, что BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos α. Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.

AB 2 = AD 2 + BD 2

AD = AB cos α

CD = |AC – AD|

BD 2

Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учетом этого, окончательно получаем BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ⋅ AC cos α. Теорема доказана.

К доказательству теоремы косинусов К доказательству теоремы косинусов

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. a sin α = b sin β = c sin γ .

Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что a sin α = b sin β = c sin γ .

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).

Δ ABC

BD = a sin γ

BCD

ABD

BD = c sin α

a sin γ = c sin α

(AB)

CE = b sin α

Δ ACE

CE = a sin β

Δ BCE

Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1 и углы при вершинах A, B и C одного треугольника равны углам при вершинах A1, B1, C1 соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть A 1 B 1 AB = B 1 C 1 BC = A 1 C 1 AC .

Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем AB sin ( ∠ C ) = BC sin ( ∠ A ) = AC sin ( ∠ B ) . Аналогично из Δ A1B1C1 получим A 1 B 1 sin ( ∠ C 1 ) = B 1 C 1 sin ( ∠ A 1 ) = A 1 C 1 sin ( ∠ B 1 ) . Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим искомое равенство.

Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причем α < β. Тогда sin α < sin β

Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что ∠ BAC = 90 ∘ - β , ∠ BAD = 90 ∘ - α . Точки B, C, D лежат на прямой a, которая перпендикулярна лучу AB. Так как ( 90 ∘ - β ) < ( 90 ∘ - α ) , то луч AC лежит между сторонами угла BAD, следовательно, точка C лежит между точками B и D и BC < BD. Отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на прямую a, соответственно, поэтому, по свойству наклонных (см. параграф 5.1) AD > AC. Треугольники ABC и ABD прямоугольные ( ∠ B равен 90° по условию), поэтому ∠ ACB = β , ∠ ADB = α . По определению sin β = AB AC ; sin α = AB AD , но sin β sin α = AB AC ⋅ AD AB = AD AC > 1. Отсюда sin β > sin α , что и требовалось доказать.

Заметим, что, если α – острый угол, то sin α < 1 = sin 90 ∘ .

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.2 sin (α + β) = sin γ > sin α и sin γ > sin β. Bторое утверждение следует из теоремы 5.4.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.

Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трех или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда AB + BC = AC. Отсюда AB < AC < AC + BC, BC < AC < AC +BC, AC = AB + BC и утверждение теоремы верно.

Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB < AC + BC. Опустим перпендикуляр CD на прямую AB.. Точки A, B, D лежат на данной прямой и по доказанному AB ≤ AD +BD. Но AD < AC и BD < BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB < AC + BC. Теорема доказана.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎