Решение логарифмических уравнений. 11-й класс

Тип урока: урок обобщения знаний, систематизация изученного материала.

Цели урока:

1. Рассмотреть различные способы решения логарифмических уравнений.
2. Воспитывать настойчивость в достижении цели, развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
3. Определить уровень усвоения знаний учащихся по данной теме. Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, справочный материал.

Ход урока

Сегодня мы поговорим о методах решения логарифмических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать любые уравнения наиболее подходящим методом.

Основным методом решения логарифмических уравнений является сведения их к простейшим.

1. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение log x = b (где а > 0, а ≠1).
2. Решение логарифмического уравнения вида log f(x)=log g(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)>0, g(x) > 0, (где а > 0, а ≠1)
3. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является необязательной. Можно отбросить посторонние корни и с помощью нахождения области определении исходного уравнения (эта область задается системой неравенств f(x)>0, g(x) > 0, где а > 0, а ≠1).
4. При решении логарифмических уравнений часто полезен метод введения новой переменной.
5. При решении логарифмических уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1. log (x – 4)= 1.

По определению логарифма следует x – 4 = 5, x = 9.

Пример 2. log (x + 4x + 3) = 3

Решение. О.Д.З. x + 4x + 3 > 0

По определению логарифма данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство x + 4x + 3 = 2 , получаем квадратное уравнение x + 4x - 5 = 0, корни которого 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 удовлетворяют область допустимых значений.

Пример 3. log (2x+3) = log (x+1)

Это уравнение определено для тех x, при которых выполнены неравенства 2х + 3 > 0 и x + 1> 0

Для этих x уравнение равносильно уравнению 2х+3 = x + 1, из которого находим x = - 2,

Число x = -2 не удовлетворяет неравенству x + 1> 0. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Это уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х+3 = x + 1, находим x= -2. При неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. Получаем равенство log (-1) = log (-1) неверно (оно не имеет смысла).

Ответ: корней нет.

Пример 4. log (x - 2x + 2 ) = 1.

Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия: где x > 0 и x ≠1 (x – основание логарифмической функции) и x - 2x + 2 = x, x - 3x + 2 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но x = 1 не удовлетворяет область допустимых значений данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

Пример 5. l g (3x- 4) + l g (2x- 4) = 2.

Используя свойство, сумму логарифмов запишем в виде произведения lg [(3x- 4) (2x- 4)] = l g100, (3x- 4) (2x- 4) = 10, решая уравнение получаем следующие корни x = 3; x = .

Пример 6. log log log x = 0

Решение. О.Д.З. x > 0

Запишем данное уравнение в таком виде log log log x = log 1, потенциируя, получаем

Пример 7. log x - log x – 3 = 0.

Решение. О.Д.З. x > 0.

Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t = log x, тогда log x = = 2t.

Данное уравнение перепишется в виде t - 2 t – 3 = 0. Корни этого уравнения 3 и -1. Решая уравнения замены log x = 3 и log x =- 1, находим x = 125 и x = 0,2.

Ответ: x = 125, x = 0,2.

Пример 8. + = 4.

Решение. Так как log x = log x, то данное уравнение примет вид + = 4. Пусть = y, y ≥ 0, тогда 1+ log x = y , log x = y - 1 2log x – 2 = 2 y - 4.

Следовательно, уравнение примет вид y + = 4 или = 4 – у.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение 2 y - 4 = 16 - 8у + y или y + 8у – 20 = 0, откуда у = -10; у = 2. Корень у = -10 не подходит, так как y ≥ 0.

Если у = 2, то учитывая замену, имеем 1+ log x = 4, log x = 3, откуда x = 8. Легко убедиться, что x = 8 корень данного уравнения.

Пример 9. 6 + x = 12.

Решение. О.Д.З.. x > 0. Пусть x = t, где t > 0, тогда прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию 6, имеем

log x log x = log t, или log t = = log t. (1)

В этом случае исходное уравнение примет вид 6 + t= 12, или t + t = 12, t = 6, тогда равенство (1) запишется в виде log x = 1, или log x = 1, откуда x = 6; x =

Пример 10. 15 = 3

Решение. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию а получаем log (x - 8x +15 ) log 15 = log 15 log 3;

x - 8x +15 = 3; x - 8x +12 = 0, откуда x = 6; x = 2.

Ответ: x = 6; x = 2

1. log (x+1) + log (x+3) =1 Ответ: 0
2. log (x - 9x +8) log (x +1)=3 Ответ: нет решений.

1 2 3 4 5 6 12 - 1;7 25; 0.2 11 27; 2

Коды ответов: I вариант: 312, II вариант: 465.

1. Повторить определение логарифма, свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество.

2. Решить следующие уравнения:

log x - log x = 2 = 6

log (x + 8) - log (x + 1) =3 log 2

log (2 4 - 1) = 2x – 4