XIII. Учение о параллельных линиях от Евклида до Лежандра
«В геометрии,—пишет Лобачевский в введении к Геометрическим исследованиям по теории параллельных линий,— я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными».
Нужно четко уяснить, в чем этот пробел заключается* Учение о параллельных линиях Евклид строит, так сказать, па двойном базисе. Первым фундаментом этого учения служит 16-е предложение книги I (116), т. е. первая теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше каждого из внутренних с ним не смежных углов. При пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей (рис. 2) образуется
8 углов, которые в парных комбинациях получают различные названия. Если из внутренних накрест лежащих углов какие-либо два равны между собой, т. е. если
с = е или d = f, (1)
то линии параллельны; в самом деле, если бы эти прямые пересекались, то образовался бы треугольник, в котором один из внешних углов был бы равен внутреннему, с ним не смежному, что противоречит предложению I16. Отсюда следует, что линии параллельны также, если равны два внешних накрест лежащих угла, т. е. если имеет место одно из равенств а = g или b = h (2)
или если равны два соответственных угла а = е, b = f, c = g, d = h, (3)
или если какие-либо два внутренних или два внешних односторонних угла составляют вместе 2d, т. е. если
с+f-f=2d, или d+e=2d, или а+h=2d, или b+g=2d. (4)
Дело в том, что каждое из 12 равенств (1) — (4) влечет за собой все остальные 11. Мы приходим таким образом к теореме, которая вытекает, главным образом, из предложения, связанного с равенством (1):
Теорема. Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей имеет место одно из равенств (1) — (4), то эти прямые параллельны.
Эта теорема разбита у Евклида на два предложения I27 и I28, которые в совокупности составляют так называемую прямую теорию параллельных линий; она устанавливает 12 равенств, каждое из которых достаточно для того, чтобы две прямые, расположенные в одной плоскости, были параллельны; она доказывается на основе предыдущих предложений, главным образом на основе теоремы о внешнем угле треугольника I16. В таком виде эти предложения излагаются во всех элементарных учебниках геометрии.
Возникает обратный вопрос: если известно, что две прямые параллельны, то можно ли утверждать, что имеют место равенства (1)—(4)? Можно ли утверждать, что каждое из этих равенств выражает не только достаточное, но и необходимое условие параллельности двух прямых? Справедлива ли теорема, обратная предыдущей?
Мы привыкли к тому, что за доказательством каждой теоремы следует доказательство обратной теоремы, если только она справедлива. Так как и в этом случае справедливость обратной теоремы не вызывала сомнений, то было естественно искать ее доказательство.
История науки знает ряд вопросов, проблем, разрешение которых долгое время представляло камень преткновения для математической мысли. Простейшие из этих проблем возникли еще в глубокой древности. Древнейшей из них была, по преданию, так называемая «Делийская задача», требовавшая по указанию оракула удвоения куба, стоявшего на жертвеннике Аполлона; задачу надо понимать так, чтобы циркулем и линейкой построить сторону куба, имеющего по сравнению с данным кубом двойной объем. Столь же неприступными были задачи о трисекции угла и квадратуре крута, т. е. задача о построении теми же средствами угла, составляющего третью часть данного угла,— квадрата, равновеликого данному кругу. К числу таких недоступных задач принадлежало также требование доказать обратную теорему в учении о параллельных линиях, т. е. выполнить это доказательство теми же средствами, которыми доказаны предыдущие 27 предложений в «Началах» Евклида. Не подлежит сомнению, что такое доказательство усердно искали уже до Евклида, и это не удавалось. Подобно Александру Македонскому, Евклид решил разрубить гордиев узел: он принял обратное предложение за постулат, подлежащий в качестве такового приобщению к первым четырем постулатам. Согласно этой установке, каждый приступающий к изучению геометрии должен был признать, что при пересечении двух параллельных линий третьей необходимо должны иметь место равенства (1) — (4); т. е. собственно принять нужно было только, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место хотя бы только одно из равенств (1) — (4), так как каждое из них влечет за собою остальные. Евклид принимает, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место какое-либо одно из равенств (4). Таким образом, Евклид принимает в качестве постулата, что при пересечении двух параллельных прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, или — что, очевидно, то же — если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна двум прямым, то эти прямые не параллельны, они неизбежно пересекаются. Таков дополнительный постулат, который Евклид вводит, которым он пользуется, начиная с 29-го предложения I книги. Чтобы в этом узловом пункте быть вполне точным, нужно остановиться еще на одной детали.
Из теоремы о внешнем угле непосредственно вытекает, что сумма двух углов треугольника никогда не может превысить 2d. Это и составляет содержание следующего предложения I17. В самом деле, если А и В внутренние углы треугольника ABC (рис. 3) при основании АВ, А' и В'— соответствующие смежные углы, то сумма четырех углов
А + А' + В+ B’ = 4d. (5)
Но так как А 1 ; он приходит к заключению, что ни одно из доказательств постулата не выдерживает строгой критики. Почти через сто лет после этого сочинение, посвященное доказательствам постулата о параллельных линиях, выпустил русский математик В. Я. Буняковский 2 . Читатель, которого это заинтересует, найдет изложение наиболее интересных доказательств в книге Бонола 3 и во вводной статье В. Ф. Кагана к «Геометрическим исследованиям» Лобачевского, помещенной в I томе полного собрания его сочинений 4 . Здесь мы все же приведем два доказательства, чтобы дать некоторое представление об этих рассуждениях.
Почти все доказательства постулата, как сказано в приведенной выше цитате из Ламберта, грешат тем, что они явно или неявно допускают положение, эквивалентное доказываемому постулату. Это ясно видно на тех примерах, которые мы приведем.
Начнем с доказательства Валлиса. Еще в XVII в. в Оксфордском университете была учреждена кафедра для спорадического чтения лекций по Евклиду. Одним из первых профессоров (professor Sevilianus), занимавших эту кафедру, был Дж. Валлис (J. Wallis, 1616—1703); его труды по алгебре и по анализу бесконечно малых хорошо известны; это был один из прямых предшественников Ньютона в деле создания анализа бесконечно малых. В 1663 г., выполняя лежащее на нем обязательство, он прочел лекцию, содержавшую доказательство постулата о параллельных. Несколько модифицируя рассуждения Валлиса 5 , изложим существо его доказательства постулата применительно к той его форме, которой, как уже указано, неправильно присваивается имя Лежандра. Нужно, следовательно, доказать, что перпендикуляр АВ.и наклонная CD к секущей АС непременно пересекаются со стороны острого угла ACD (рис. 5). С этой целью, следуя общему замыслу Валлиса, опустим из точки F луча CD на прямую С А перпендикуляр, который упадет в точку G со стороны острого угла. После этого построим треугольник С'А'Е', подобный треугольнику CGF при отношении соответственных сторон, равном СA:GC тогда сторона С'А' будет равна СА и ∠ А'С'Е' = ∠ ACD. Если приложим треугольник А'С'Е' к прямой АС с надлежащей стороны так, чтобы сторона его А'С' совпала с отрезком АС, то прямые А'Е' и С'Е' пойдут соответственно но АВ и CD, и точка Е' упадет в точку Е, в которой перпендикуляр А В пересечется с наклонной CF (рис. 5 и 6).
Рассуждение кажется безукоризненным; но оно предполагает, что каждому треугольнику отвечает подобный ему треугольник при любом отношении подобия. Валлис это постулирует, четко это оговаривая. Но такое допущение не только эквивалентно постулату Евклида, а даже избыточно: достаточно принять, что на плоскости существуют какие-либо два подобных треугольника, и из этого допущения вытечет постулат о параллельных, а с ним вся евклидова геометрия. Между тем задача, как уже указано заключается отнюдь не в том, чтобы заменить постулат о параллельных более простым (постулат Валлиса не является более простым), а в том, чтобы «доказать постулат», не пользуясь никаким добавочным допущением.
Минуем полтораста лет и обратимся к рассуждениям Лежандра. К размышлениям о теории параллельных линий Лежандра привело составление учебника геометрии, о котором нам уже пришлось говорить выше (стр. 129), новых «Начал», которые впервые заменили книгу Евклида во многих школах. Точкой отправления Лежандра служит учение о сумме углов треугольника. Теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d, всегда устанавливается средствами собственно евклидовой геометрии: доказательство основано на том, что при пересечении двух параллельных линий третьей соответственные и внутренние накрест лежащие углы равны, т. е. на основном предложении собственно евклидовой геометрии. Лежандр, не пользуясь постулатом о параллельных линиях, т. е. средствами абсолютной геометрии, доказал следующие три предложения:
1. Сумма углов треугольника не может превышать двух прямых. Из этого предложения следует, что сумма углов треугольника либо равна 2d, либо меньше 2d. Следующее предложение уточняет эту дизъюнкцию.
2. Если сумма углов равна 2d в каком-либо одном треугольнике, то она равна 2d во всяком другом треугольнике.
Таким образом, средствами абсолютной геометрии устанавливается, что сумма внутренних углов во всех треугольниках либо равна 2d, либо же меньше 2d.
3. Если сумма внутренних углов треугольника равна 2d, то имеет место постулат о параллельных, а следовательно, вся геометрия Евклида.
Таким образом, постулат Евклида эквивалентен допущению, что сумма углов треугольника равна 2d. Доказательства этих теорем читатель найдет частично в «Началах» Лежандра (издания III—VIII), полностью — в указанных выше книге Бонола и статье В. Ф. Кагана.
Из теорем Лежандра, таким образом, следует, что для доказательства постулата о параллельных достаточно установить средствами абсолютной геометрии, что сумма углов треугольника равна 2d. Предложенное им доказательство, в высшей степени остроумное, мы воспроизводим здесь полностью. Продолжим стороны АВ и АС треугольника ABC и приложим его к стороне ВС, повернув его при этом так, чтобы вершина В упала в точку С, а вершина С — в точку В. Треугольник займет положение DCB. При этом ∠DBC — ∠ АСВ, ∠DCB = ∠АВС. А так как ∠ КВС, как внешний угол треугольника ABC, больше ∠АСВ, той ∠CBD меньше ∠СВК; сторона BD передвинутого треугольника расположится, следовательно, внутри угла СВК.
Таким же образом сторона CD расположится внутри угла ВСЕ; треугольник займет положение DCB, указанное на чертеже. Теперь через точку D проведем прямую EF так, чтобы она пересекала стороны угла ЕАК в точках Е и F. Мы придем к треугольнику AEF, который расположен внутри угла КАЕ и распадается на четыре треугольника, один из которых, BDC, не отличается от данного (ABC), два других же от них вообще отличны (рис. 7)
Теперь Лежандр становится на путь доказательства от противного. Он допускает, что сумма углов треугольника ABC у меньше 2d, равна, скажем, 2d — а, где а имеет положительное значение; ту же сумму имеют внутренние углы треугольника BCD. В каждом из треугольников BFD и CED, согласно теореме 2, сумма углов также меньше 2d, составляя, скажем, 2d — β в треугольнике BDF и 2d — β в треугольнике CDE. Сумма внутренних углов во всех четырех треугольниках составляет поэтому 8d — 2α — β — γ. Если от этой суммы отбросить углы при точках В, С, D, т. е. 6d, по получим сумму внутренних углов треугольника AEF', она равна
2d — 2α — β —γ 1 . Это — именно размышления, к выводам из которых сам автор относится с большой осторожностью; он не делает уверенных утверждений, он собрал здесь, по выражению Лобачевского, «все, что по его мнению, казалось наиболее удовлетворительным» 2 .
Мемуар Лежандра завершил эпоху в истории поисков доказательств постулата о параллельных линиях. В то время, когда он опубликовал свои заключительный мемуар, вопрос был полностью уже разрешен. Лобачевский за четыре года до того опубликовал уже свой основной мемуар «О началах геометрии», в котором весь вопрос получил исчерпывающее решение.
Лобачевский тщательно изучил рассуждения Лежандра. Он указывает на них почти в каждом своем сочинении; но он не впал в ошибку, которую допустил Лежандр. Вот что он пишет в начале сочинения «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» 3 : «Не почитаю нужным распространяться здесь об этой ошибке, в которой сознался после сам Лежандр, говоря, что хотя в основание взятые начала не подлежат сомнению, но встречает однако затруднения, не будучи в состоянии победить их. В Записках Французской Академии 1833 года прибавил он еще предложение, что сумма углов должна быть π во всех треугольниках, если такова в одном только. То же мне надобно было доказывать ив моей теории, которую писал я в 1826 г. Даже нахожу, что Лежандр несколько раз попадал на ту дорогу, которую выбрал я так удачно; но вероятно предубеждение в пользу принятого всеми положения заставляло на каждом шагу спешить заключением или дополнять тем, чего бы нельзя было допускать еще в новом предположении». Лобачевский преодолел это предубеждение, и это привело его к его замечательному открытию.