Методы решения показательных уравнений
Пример 1. Решите уравнение: 3 4x-5 = 3 x+4 .
3 4x-5 = 3 x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .
Пример 2. Решите уравнение: 2 x-4 = 3 .
2 x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .
Пример 3. Решите уравнение: -3x = -7 .
-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .
2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.
A. Метод уравнивания оснований.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 27 - = 0 .
27 - = 0 <=> 3 3 3 4x-9 - (3 2 ) x+1 = 0 <=> 3 3+ (4x-9) - 3 2(x+1) = 0<=> 3 4x-6 -3 2x+2 = 0 <=> 3 4x-6 = 3 2x+2 <=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.
Пример 2. Решите уравнение: .
0 <=> (2 2 ) x 3 x 5 x = 60 4x-15 <=> 4 x 3 x 5 x = 60 4x-15 <=> (4 x = 60 4x-15 <=> 60 x =60 4x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.
Пример 1. Решите уравнение: x 2 x = 2 2 x + 8x-16.
x 2 x = 2 2 x + 8x-16 <=> x 2 x - 2 2 x = 8 x-2) <=> 2 x (x-2) - 8 <=> (x-2) x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .
Пример 2 . Решите уравнение:
5 2x - 7 x - 5 2x 35 +7 x = 0 <=> (5 2x - 7 x ) ( (
С. Уравнения, которые с помощью подстановки f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).
Пусть , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A 2 + B + C = 0
Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению f(x) = t, решаем его и записываем ответ.
Примеры.
Пример 1 . Решите уравнение: 2 2+x - 2 2-x = 5.
2 2+x - 2 2-x = 5 <=> 2 2 2 x - = 15 <=> 4 (2 x ) 2 - 4 = 15 x
Делаем замену t = 2 x , t > 0. Получаем уравнение 4 2 - 4 = 15t <=> 4t 2 - 15t - 4=0
<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.
Вернемся к переменной х:
2 х = 4<=> 2 x = 2 2 <=> x=2.
Пример 2. Решите уравнение:
Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:
5 , t = не удовлетворяет условию t
Вернемся к переменной Х:
D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A nx + B kx b mx + С b nx , где k, m N, k + m = n
Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на nx , либо на nx и получится уравнение типа С).
Пример 1. Решите уравнение: 2 2 2x - 5 x + 3 3 2x = 0.
2 2 2x - 5 x + 3 3 2x = 0 <=> 2 2x - 5 x 3 x + 3 3 2x = 0 <=> 2 - + 3 = 0 <=>
<=> 2 2x - 5 x + 3 = 0
Пусть t = x , t>0 , тогда 2 t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:
Пример 2. Решите уравнение: 8 x + 18 x - 2 27 x = 0 .
8 x + 18 x - 2 27 x = 0 <=> + - 2 = 0 <=> 2 3x + 2 x 3 2x - 2 3 3x = 0<=>
Пусть = t, t>0 , тогда t 3 + t - 2 = 0<=> (t 3 - 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t 2 +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t 2 + t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)
Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .
К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .
Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :
Пример 3. Решите уравнение:
Заметим, что произведение оснований степени равно единице:
( . Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:
t ,оба корня удовлетворяют условию : .
Вернемся к переменной х:
Е. Уравнения, имеющие вид A a m = B b m .
Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на a m , либо на b m . В результате получается простейшее уравнение.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 7 х = 5 х .
Пример 2. Решите уравнение: .
F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде
Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть
Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть
Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.
Пример 2. Решите уравнение: .
Это уравнение также обращается в тождество при х=1.
Перепишем уравнение в виде:
При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.
Поэтому при х а при х : . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.
G. Графический способ решения уравнений вида f(x).
Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y= f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.
2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.
3. Зададим таблицы значений этих функций:
х -1 0 1 2 3 f(x) = 1 2 4 х 0 3 g(x)= x+1 1 44. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:
Пример 2. Решите уравнение: .
1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :
= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .
2. Функция f(x) = - показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.
Функция g(x) = - прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .
3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.
х -3 -2 -1 0 1 2 f(x) = 8 4 2 1 х 1 4 g(x) = 24. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.
Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х= , то он -единственный.
В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.