Универсально вписанные и описанные многогранники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Макеев, Владимир Владимирович

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Макеев, Владимир Владимирович

ГЛАВА 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в евклидовом пространстве

§1. Лемма о непрерывной функции на многообразии Штифеля 2-реперов

§2. Применение к задаче Кнастера.

§ 3. Инфинитезимальная задача Кнастера

§4. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере

§ 5. Обобщение задачи о непрерывных функциях на сфере евклидова пространства

§ 6. Контрпример к гипотезе Кнастера.

ГЛАВА 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела)

§ 1. Введение и метод доказательства.

§2.0 четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую.

§3.0 пятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую

§ 4. Вписанные и описанные шестиугольники для выпуклой фигуры

§ 5. О многоугольниках, вписанных в сечение и описанных вокруг проекции выпуклого тела Lf g

§ 6. Применение к универсальным покрышкам 5 i

ГЛАВА 3. Подобно вписанные и описанные многогранники в R3 5*

§1. Подобно вписанные и описанные трехмерные четырех и пятивершин-ники и пятигранники ^

§2. Подобно вписанные шестивершинники и описанные шестигранники

§3. Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины

§ 4. Подобно вписанные пятивершинники

§ 5. О симплексах, вписанных в выпуклое тело

§ 6. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного выпуклого компакта gQ

ГЛАВА 4. Аффинно вписанные и описанные многогранники $ Ч

§ 1. О возможности вписать аффинный образ кубооктаэдра в трехмерное выпуклое тело

§ 2. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного тела.1 & %

§ 3. Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела.Н

§4. Эквидистанционная проблема

§5. Кубы и октаэдры в нормированном пространстве ЛОЧ

ГЛАВА 5. О плоских сечениях выпуклых тел

Кажется правдоподобным [(Макеев,1989)], что верхние оценки в сформулированной теореме являются точными.

2 2 Из теоремы непосредственно следует, что e(n, 2)

Более слабые оценки имеются в [Макеев,1984, Milman, 1988].

Теорема 5.1.2. Если п — 1 - простое нечетное число, то е(п, 2) = sec 2^-1 и ei(n, 2) = sec ^ - 1.

Заметим, что эта теорема вычисляет е(4,2) и £i(4, 2). Всюду в дальнейшем под нормированным пространством понимаем вещественное нормированное пространство, Rn обозначает n-мерное вещественное пространство со стандартной евклидовой нормой.

Пусть Ei и Е2 — два нормированных пространства одинаковой размерности. Расстоянием Банаха-Мазура между ними называется число d(EuE2).= inf, А где инфимум берется по всем линейным изоморфизмам А : Ei —> Е2.

Теорема 5.2.1 [Макеев, 2002]. Во всяком трехмерном нормированном пространстве найдется двумерное подпространство Е2 с d(E2, R2) <

Данная оценка неулучшаема.

Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Дворецкого.

Определим на классах изоморфных векторных расслоений над топологическими пространствами неотрицательный скалярный вариант.

Пусть 7 : Е В - вещественное векторное расслоение с базой В. Обозначим через множество финслеровых метрик на 7. Символом Ех будем обозначать слой 7-1(:г) над точкой х. Соответственно, Е^ обозначает этот же слой, снабженный нормой из финслеровой метрики / £ Положим т(7)= sup inf di(E^/\Rn), где п = dim 7.

Обозначим через Gfc(Rn) многообразие Грассмана неориентированных к-плоскостей в R", проходящих через нуль. Пусть 7^ : Ек(Rn) —► G^(Rn) -каноническое расслоение, в котором слоем над /с-плоскостыо из Gk