Векторы в пространстве методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Комплект самостоятельных и контрольных работ с ответами. А также опорными схемами по данной теме. Большое количество различных вариантов позволяет провести индивидуальные домашние работы , самостоятельные и контрольные работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1 . Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

2 . DABC – тетраэдр. Точка М – середина ребра ВС , точка N – середина отрезка DМ . Выразите вектор через векторы , , .

3 . Медианы Δ BDC пересекаются в точке Р , точка K – середина отрезка AP (точка А не лежит в плоскости BDC ). Разложите вектор по векторам , , .

4 . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 М лежит на BB 1 , причем BМ : МB 1 = 3 : 4, а Р лежит на B 1 D 1 , причем B 1 P : РD 1 = 2 : 1. Разложите вектор по векторам , и .

1 . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

2 . В тетраэдре DABC точка N – середина ребра AB , точка P – середина отрезка DN . Выразите вектор через векторы , , .

3 . Медианы грани DBC тетраэдра DABC пересекаются в точке О , точка R – середина отрезка AO . Разложите вектор по векторам , , .

4 . Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М лежит на AB , причем AМ : МB = 5 : 2, а K ∈ AD 1 , причем AK : КD 1 = 3 : 5. Разложите вектор по векторам , и .

1 . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

2 . Точка S – середина ребра AС тетраэдра DABC , точка N – середина отрезка DS . Выразите вектор через векторы , , .

3 . В треугольнике KLM точка С – пересечение медиан, T – середина отрезка NС ( N не лежит в плоскости KLM ). Разложите по векторам , , .

4 . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка N делит CC 1 так, что CN : NC 1 = 1 : 3, а точка H делит A 1 С 1 так, что А 1 Н : НС 1 == 5 : 2. Разложите вектор по векторам , и .

1 . Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , равный:

2 . Дан тетраэдр DABC . Точка P – середина ребра AB , точка R – середина отрезка CP . Выразите вектор через векторы , , .

3 . DABC – тетраэдр. Медианы грани DAB пересекаются в точке N , точка O – середина отрезка CN . Разложите вектор по векторам , , .

4 . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед. Точка E лежит на ребре DC так, что DE : EC = 1 : 4, а F ∈ СB 1 , причем CF : FB 1 == 2 : 3. Разложите вектор по векторам , и .

1 . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

2 . На середине ребра ВС тетраэдра DABC лежит точка T, а на середине отрезка DT – точка H . Выразите вектор через векторы , , .

3 . R – точка пересечения медиан треугольника SPQ , M – середина отрезка FR (точка F не лежит в плоскости SPQ ). Разложите вектор по векторам , , .

4 . Точка K лежит на ребре BB 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 так, что BK : KB 1 = 3 : 4, а N ∈ D 1 B 1 , причем D 1 N : NB 1 = 1 : 2. Разложите вектор по векторам , и .

1 . Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

2 . DABC – тетраэдр. На середине ребра AB лежит точка К , точка M – середина отрезка DK . Выразите вектор через векторы , , .

3 . В тетраэдре ABCD медианы грани DBC пересекаются в точке E , на середине отрезка AE лежит точка N . Разложите вектор по векторам , , .

4 . Точка S лежит на ребре BA , а точка Р лежит на диагонали AD 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , BS : SA = 2 : 5, AP : РD 1 == 3 : 5. Разложите вектор по векторам , и .

1 . Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте на рисунке векторы, равные:

2 . В тетраэдре DABC на середине ребра AС лежит точка T , а на середине отрезка DT – точка K . Разложите вектор по векторам , , .

3 . Дан Δ AMD , его медианы пересекаются в точке O , P – середина отрезка SO (точка S не лежит в плоскости AMD ). Выразите через векторы , , .

4 . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед. На C 1 A 1 лежит точка N , причем C 1 N : NA 1 = 2 : 5, а на C 1 C – М , причем C 1 М : МC == 3 : 1. Разложите вектор по векторам , и .

1 . Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:

2 . Точка N – середина отрезка CK , соединяющего вершину С тетраэдра DABC с точкой K – серединой ребра AB . Разложите вектор по векторам , , .

3 . Точка R – пересечение медиан грани DAB тетраэдра DABC , точка P – середина отрезка CR . Выразите вектор через векторы , , .

4 . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка T лежит на B 1 С так, что B 1 T : TС = 3 : 2, точка O делит CD так, что СО : ОD == 4 : 1. Разложите вектор по векторам , и .

Предварительный просмотр:

1 . Даны точки: А (2; –8; 1), В (–7; 10; –8), С (–8; 0; –10), D ( –9; 8; 7). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 2, = , = 135 ° . Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани DCC 1 D 1 . Вычислите угол между прямыми:

б) B 1 D и А 1 К .

1 . Даны точки: А (5; 0; 1), В (0; –1; 2), С (3; 0; 1), D (–2; –1; 2). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 1, = 2, = 120 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани ADD 1 A 1 . Вычислите угол между прямыми:

б) А 1 С 1 и В 1 К .

1 . Даны точки: А (1; –5; 0), В (–3; 3; –4), С (–1; 4; 0), D (–5; 6; 2). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 2, = , = 150 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани ABCD . Вычислите угол между прямыми:

б) A 1 B и С 1 К .

1 . Даны точки: А (6; 1; 2), В (1; 0; 3), С (5; 3; 4), D (0; 2; 5). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 3, = 2, = 120 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани ABCD . Вычислите угол между прямыми:

б) B 1 D и C 1 K .

1 . Даны точки: А (2; –9; 1), В (–6; 1; –7), С (–7; 0; –9), D (–9; 8; 3). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = , = 1, = 150 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани ADD 1 A 1 . Вычислите угол между прямыми:

1 . Даны точки: А (1; –4; 0), В (–5; 0; –2), С (–3; 1; 0), D (–5; 7; 4). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 1, = , = 135 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани DCC 1 D 1 . Вычислите угол между прямыми:

1 . Даны точки: А (2; –4; 1), В (–1; 1; –3), С (–2; 7; –3), D (–9; 6; 1). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 4, = 1, = 120 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани ABCD . Вычислите угол между прямыми:

1 . Даны точки: А (2; –3; 1), В (–7; 10; –9), С (–8; 0; –9), D (–9; 7; 1). Найдите:

а) угол между векторами и ;

б) расстояние между серединами отрезков AB и CD .

2 . Даны векторы и : = 1, = , = 150 ° .Найдите .

3 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка К – центр грани DCC 1 D 1 . Вычислите угол между прямыми:

Предварительный просмотр:

 СИСТЕМА КООРДИНАТ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 

Разложение вектора по координатам

Произведение на число

Угол между векторами

Условие равенства векторов

Условие коллинеарности векторов

Условие перпендикулярности векторов

Вектор (направленный отрезок) — это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Нулевой вектор (нуль–вектор) — вектор, начало и конец которого совпадают и он не имеет определенного направления.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор.

Длина вектора (модуль, абсолютная величина) — длина его направленного отрезка.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Сонаправленные векторы — векторы, лежащие на сонаправленных лучах.

Противоположно направленные векторы — векторы, лежащие на противоположно направленных лучах.

Противоположные векторы — векторы, которые имеют равные длины и противоположно направлены.

Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и их длины равны.

Компланарные векторы — векторы, которые при откладывании от одной точки будут лежать в одной плоскости.

Разложить вектор по векторам и — представить этот вектор в виде

где х и у – некоторые числа, которые называются коэффициентами разложения.

Координатные векторы (орты) — единичные векторы, сонаправленные осям координат.

Координаты вектора — коэффициенты разложения вектора по координатным векторам.

Радиус–вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой.

Направляющий вектор прямой — вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей.

А – начало вектора,

В – конец вектора.

3. и любой вектор

сонаправлен с любым вектором

Противоположно направленные векторы:

1) ( правило многоугольника ): Суммой векторов, отложенных последовательно, называется вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего.

2) ( правило параллелограмма ): Суммой двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

3) ( правило параллелепипеда ): Суммой трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, называется вектор с началом в этой точке и направленный по диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах.

 Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

 а) Разность удобно заменять суммой с противоположным вектором;

б) Правило о направлении вектора разности: « Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора ».

1) ( умножение на число ): Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при k l 0 и противоположно направлены при k

2) ( скалярное произведение ): Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

 а) При умножении вектора на число получается вектор, скалярное произведение – число;

б) Если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.