Теоретико-групповые свойства некоторых интегро-дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Селехман, Николай Андреевич
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Селехман, Николай Андреевич
Глава I. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Построение алгебры инвариантности псевдодифференциальных уравнений
§2. Симметрия некоторых псевдодифференциальных уравнений
§3. Псевдодифференциальные уравнения, инвариантные относительно группы Шредингера и конформной группы
§4. О симметрии псевдодифференциальных уравнений со взаимодействием.
§5. Нелокальная симметрия некоторых дифференциальных уравнений.
Глава П. СИММЕТРШНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕШНОдаЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.
§6. Построение алгебры инвариантности и законов сохранения интегро-дифференциальных уравнений.
§7. Групповые свойства интегро-дифференциальных уравнений инвариантных относительно группы конформных преобразований и группы Шредингера
§8. Симметрийные свойства интегро-дифференциальных уравнений для электромагнитного и спинорного полей
§9. Симметрийные свойства уравнений статистической физики.
§10. Законы сохранения некоторых интегро-дифференциальных уравнений.
Глава Ш. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРО-ДЖЕРЕШДШЕЬ
НЫХ УРАВНЕНИЙ. ИЗ
§11. Решение задачи Коши для одного класса интегродифференциальных уравнений. ИЗ
§12. Редукция числа переменных в интегро-дифференци-альных уравнениях, инвариантных относительно групп преобразований.
§13. Вольтерровские решения интегро-дифференциальных уравнений специального вида.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Новые симметрии в электродинамике и квантовой теории 1999 год, доктор физико-математических наук Котельников, Геннадий Александрович Приближенные группы преобразований дифференциальных уравнений с малым параметром 1999 год, доктор физико-математических наук Газизов, Рафаил Кавыевич Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля 2013 год, кандидат наук Касаткин, Алексей Александрович АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА 2017 год, доктор наук Лукащук Станислав Юрьевич Симметрии и законы сохранения нелинейных дискретных моделей сплошной среды 2020 год, кандидат наук Капцов Евгений ИгоревичВведение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-групповые свойства некоторых интегро-дифференциальных уравнений»
В последнее время заметно возрос интерес к исследованию групповых свойств дифференциальных уравнений. Это вызвано главным образом двумя причинами: а) групповые методы дают возможность построить интегралы движения для системы, описываемой исследуемыми уравнениями; б) с помощью групповых методов можно найти точные решения исследуемых уравнений.
Групповые свойства дифференциальных уравнений изучаются, главным образом, классическим методом С.Ли /71, 23, 24, 36, 37/. При исследовании групповых свойств уравнений различают прямую и обратную задачи группового анализа. Прямая задача заключается в нахождении симметрии данного уравнения. Поскольку группа инвариантности (в смысле С. Ли) произвольного уравнения, вообще говоря, тривиальна, то важной задачей группового анализа становится описание уравнений инвариантных относительно заданных групп преобразований. Эту задачу, следуя Л.В.Овсянникову /37/, будем называть обратной симметрийной задачей. С другой стороны, уравнения, используемые для описания физических явлений, как правило, обладают нетривиальной симметрией. Более того, свойство инвариантности относительно определенных групп преобразований является одним из критериев отбора "нужных" уравнений. Именно поэтому успехи групповых методов исследования дифференциальных уравнений тесно связаны с изучением уравнений, которые априорно обладают некоторой симметрией, - уравнений теоретической и математической физики (см. /37, 48/ и приведенную там библиографию).
Для исследования групповых свойств более широких классов уравнений (например, интегро-дифференциальных) или же для нахождения симметрий, которые не могут быть обнаружены в классическом подходе, необходимо обобщение метода С.Ли.
Конструктивный метод исследования теоретико-алгебраических свойств линейных дифференциальных уравнений предложен в работах /48, 49/. Существенным отличием этого метода от метода С.Ли является то обстоятельство, что базисные элементы алгебры инвариантности дифференциальных уравнений, найденные с помощью этого метода, являются интегро-дифференциальными операторами.
Для исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений используется также метод дифференциальных форм. Еще Бейтман /64/ с успехом, применил его для нахождения группы инвариантности уравнений Максвелла с токами. Исследования Э.Кар-тана /26, 27/ дали возможность применять метод дифференциальных форм для описания законов сохранения дифференциальных уравнений. В работах Спенсера, Эстабрука, Виноградова эти идеи обрели современную дифференциально-геометрическую трактовку и широко используются для исследования дифференциальных уравнений /II, 31-34, 59, 67, 73/.
С помощью групповых методов исследованы симметрийные свойства и описаны законы сохранения многих дифференциальных уравнений /24, 31, 32, 34, 53/. Методы, основанные на алгоритме Ли, дают возможность эффективно находить решения дифференциальных уравнений /55, 68/. Таким образом, можно сказать, что симметрийные свойства дифференциальных уравнений изучены достаточно хорошо.
В то же время симметрийные свойства интегро-дифференциаль-ных уравнений (ИДУ) почти не изучены. Изучение групповых свойств является важным как в теоретическом, так и в практическом отношениях: расширение области применения групповых методов дает возможность находить решения, законы сохранения интегро-диффе-ренциальных уравнений математической физики.
Для изучения групповых свойств ИДУ классический метод Ли не пригоден. Очень полезными в этом отношении являются методы дифференциальной геометрии и теории псевдодифференциальных операторов. На несомненную важность изучения ИДУ с теоретико-алгебраической точки зрения особое внимание обращено в работе /52/, где предложен способ построения алгебры инвариантности линейных псевдодифференциальных уравнений.
Настоящая диссертация посвящена применению методов дифференциальной геометрии и теории псевдодифференциальных операторов к изучению симметрийных свойств некоторых ИДУ теоретической и математической физики, построению законов сохранения и точных решений ВДУ.