Прямоугольный треугольник в задачах ЕГЭ

Прямоугольный треугольник в задачах ЕГЭ

Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным. Прямым является тот угол, из вершины которого выходит медиана.

Оба утверждения довольно легко доказываются.

Пусть дан треугольник ABC, C= , тогда если A= , то B= .

Выберем на гипотенузе АВ точку О так, что ОСА= , ОСВ=90º- , тогда ∆АОС и ∆ОСВ равнобедренные и такие, что АО=ОС=ОВ. Т.е ОС= АВ

Достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит СО – медиана и СО= АВ.

Сформулируем еще одну опорную задачу: Пусть СD – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе АВ. Тогда CD²=AD·DB, AC²=AD·AB, BC²=BD·AB. Все эти равенства доказываются из подобия треугольников ACD и BCD (рис 3).

Пусть R и rсоответственно радиусы описанной и вписанной окружности прямоугольного треугольника, a, b – катеты, с – гипотенуза, справедливы формулы:

r = (a+b-c) = p-c, где p = (a+b+c),

учитывая теорему Пифагора, получим

Обобщая выше сказанное имеем: В подобных треугольниках ABC, ACD, BCD имеет место равенство

где d , d , d - сходственные линейные элементы этих треугольников.

Конкретно получим следующие утверждения:

  1. P =P +P
  1. r +r =r , R +R =R ,

где r , r , r - радиусы окружностей, вписанных соответственно в ∆ACD, ∆BCD, ∆ABC.

  1. l +l =l , где l , l , l - биссектрисы, проведенные в этих треугольниках из вершин прямых углов.
  2. h +h =h , h , h , h - высоты, опущенные из вершин прямых углов.
  3. r +r +r =h

Серия задач из ЕГЭ 2005 по планиметрии носила такое содержание:

  1. В ∆АВС, С=90º, АС=12, ВС=5, из вершины угла С проведена высота СD, в каждый из треугольников ∆ВСD и ∆DCA вписана окружность. Найдите квадрат расстояния между центрами этих окружностей.

В ∆О О О , О K=r , О М=r , O O =r -r , KM=(r +r ) , по теореме Пифагора О О =(r +r )²+( r -r )²=2(r +r ) =2r по условию известны длины катетов треугольника АВС 12 и 5, тогда гипотенуза равна 13 (5;12:13 – Пифагорова тройка чисел)

Следовательно, О О =2·2 =8

  1. В прямоугольном треугольнике АВС, С=90º из вершины прямого угла проведена высота CH. Периметры ∆ACH и ∆ABH равны соответственно 3 см и 4 см . Найдите периметр ∆АВС.

Зная, что периметры этих треугольников связаны соотношением

имеем, что P = = =5

  1. В треугольнике АВС, С=90º проведена высота СК. Биссектрисы ∆АСК и ∆ВСК проведенные из вершин прямых углов этих треугольников равны соответственно 4 см и 6 см. Найдите квадрат длины биссектрисы ∆АВС проведенной из вершины прямого угла.
  1. В треугольнике АВС, С=90º из вершины прямого угла проведена высота CH. В каждый из ∆ACH и ∆BCH вписаны окружности, радиусы которых равны 3 см и 4 см. Найдите квадрат расстояния между центрами окружностей, вписанных в ∆BCH и ∆ABC.

Пусть О , О , О центры окружностей, вписанных соответственно в ∆ABC, ∆ACH и ∆BCH, О К, О Р и О М – соответственно их радиусы, тогда по соотношению r +r =r имеем, что О К=5, т.к. окружности вписаны в угол СВА, то их центры лежат на биссектрисе угла СВА.

Воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

2h=24, h=12, из второго и третьего соотношения имеем

и еще по теореме Пифагора

Найдем стороны ∆ABC а=15, b=20, c=25, a =9, b =16

Т.к. О К =5, то по свойству касательных проведенных к окружности из одной точки АК=10, ВМ=12.

Треугольники ВО К и ВО М прямоугольные

  1. Правильный двенадцатиугольник вписан в окружность радиуса 7.

Найдите площадь треугольника .

∆ - прямоугольный, т.к. опирается на диаметр описанной окружности.

  1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности описанной около треугольника.

СА=15, BH=16, из соотношения а =ас·с.

  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Чему равно расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в треугольник окружности?

По теореме Пифагора с =а +b , с= = , по формуле r = (a+b-c) имеем, r = (8+15-17)=3.

CMOP – квадрат со стороной 3, СО =3

  1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найдите отношение большего катета к меньшему.

В ∆АВС , =90º, АС=b, BC=a, r = (a-b), значит a > b, с другой стороны r = (a+b-c) = (a+b- ) имеем a-b=a+b- , 2b= , 4b =a +b

4b -b =a , a =3b , a=b a:b= :1

  1. В прямоугольном треугольнике АВС, =90º разность длин медианы СК и высоты СМ равна 7, периметр треугольника равен 72.

Найдите площадь треугольника.

Зная, что а+b+c=72 получим (a+b) =(72-c) , a +2ab+b =72 -144c+c , т.к. с =a +b , 2ab=72 -144c

  1. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны 2 и 5 соответственно. Найдите катеты.

R+r = (a+b) и R = c имеем:

решая систему получим, что это треугольник с катетами 6 и 8.

  1. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

x +y =25, 4( x +y )=100, AB=10.

  1. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит медиану проведенную к катету в отношении 4:3, считая от вершины.

Найдите площадь треугольника, если его гипотенуза равна 2 .

В ∆АСА , СО – биссектриса, значит АО:АС=ОА :А С АС:СА =4:3, т.к.

  1. Катеты прямоугольного треугольника 9 и 12. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

О - точка пересечения медиан, М – центр вписанной окружности и точка пересечения биссектрис. b=9, a=12, c=15

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎