Решение квадратных неравенств с одной переменой
Неравенства вида где a,b,c –любые числа, называются квадратными неравенствами с одной переменной.
Решить неравенство, значит найти такие значения переменной, при которых неравенства будут верными, или доказать, что таких значений нет.
Решать такие неравенства можно различными способами.
1. Находим корни квадратного трёхчлена. Раскладываем на множители, используя формулу
.От квадратного неравенства переходим к двум системам линейных неравенств. Решив их, запишем ответ.
Пример: решить неравенство
Решение: D=25-24=1 , . х , х Произведение больше 0, если множители имеют одинаковые знаки (оба положительны или отрицательны)
Решаю первую систему, получаю x>3. Вторая система даёт решение x 2.Графический способ основан на том, что левую часть неравенства можно рассматривать как квадратичную функцию , где для решения неравенства применяется нахождение промежутка знакопостоянства функции (промежуток, где функция сохраняет свой знак)
При этом пользуйся алгоритмом:
1.Определи направление ветвей параболы по знаку коэффициента a ;
2.Найди нули функции, если они есть. (Это корни квадратного уравнения);
3.Построй эскиз графика;
4.По графику определи, при каких значениях х, функция принимает указанные в задании значения.
1) 1. x a=1, ветви параболы направлены вверх.
2. x (нули функции, они же точки пересечения с осью ох)
4.По графику вижу, что парабола лежит ниже оси ох (значит, неположительная), если
2) 1. a=-4, ветви направлены вниз.
2. (3-2х)(3+2х)=0, (нули функции, они же точки пересечения параболы с осью ох)
4.По рисунку вижу, что график лежит выше оси ох (функция принимает положительные значения), если
1.Ветви вверх, a=9.
2.D=0,значит корень в уравнении один (точка касания с осью ох).
По рисунку вижу, что неравенство будет верным при любых значениях x, кроме .
1.Ветви параболы направлены вниз, a=-1.
2.D=-3, значит, парабола не пересекает ось ох ( квадратный трёхчлен всюду отрицателен).
Ответ: пустое множество.
1.Ветви параболы направлены вверх, a=1
2. D=25-44=-19, корней нет (точек пересечения с осью ох нет)
По рисунку видно, что функция всюду положительна.
В основе метода лежит свойство непрерывной функции. Если она непрерывна, то она сохраняет знак между своими нулями.
Алгоритм решения квадратного неравенства с одной переменной методом интервалов.
1.Вычисляем дискриминант и находим корни (нули функции), если они есть.
2.Разбиваем числовую ось этими нулями на интервалы.
3. Находим знаки функции в каждом их промежутков.
4. Выбираем по условию нужные промежутки.
Решить неравенства методом интервалов:
D=49-40=9, D>0, значит две точки пересечения с числовой осью
Выберу любое значение из левого интервала, например x=0. Вычислю значение квадратного трёхчлена при этом значении: , в промежутке функция положительна (поставила знак +),
Из второго промежутка взяла x=3, , в промежутке функция отрицательна, (ставлю знак -),
x=6 , в последнем интервале стоит знак +
По условию задачи, неравенство должно быть неотрицательным, значит, ответ:
1.D=100+96=196, два нуля функции
2.Числовая ось разбилась на три интервала
3. Найду знаки трёхчлена в каждом из них.
1.D=36-84=-48, нулей функция не имеет, ветви параболы направлены вверх, значит, заданный трёхчлен принимает положительные значения при любых значениях переменной.
Ответ: пустое множество.
4) разделю обе части неравенства на -1, изменю, знак неравенства, получу равносильное неравенство:
1. В данном случае имеем сумму двух слагаемых, первое из которых неотрицательно при любых значениях переменной, а второе положительное число, значит, сумма всегда положительна.
Ответ: пустое множество
1.6x(x-2) Тренировочные задания
1.Решить неравенство , используя график функции , изображённый на рисунке:
А) ( Б) ( В) (-4; -3) Г) нет верного ответа
2.Найдите решение неравенства , используя построенный график функции
А) (- Б) (1 ; 11) В) ( Г)
3.Решите квадратное неравенство , опираясь на построенный график функции
4. Найдите все решения неравенства , используя построенный график функции
А) Б) В) пустое множество Г)
5. Сколько целых решений имеет неравенство: ?
6. Сколько натуральных чисел являются решением квадратного неравенства:
А) 2 Б) 7 В) 5 Г) 6
7. Используя построенный график функции у=- , найдите область определения выражения
А) Б) В) Г) нет верного ответа
8.Найдите область определения выражения , воспользовавшись графиком функции , изображённым на рисунке
9. Найдите наибольшее целое решение неравенства 3
10. На рисунке изображён график функции у= х . Используя график, решите неравенство:
11. Найдите наименьшее натуральное решение квадратного неравенства:
А) 2 Б) 8 В) 3 Г) 9
12. Выберите верные утверждения для заданного неравенства
А) неравенство верно, если х- неотрицательные числа;
Б) неравенство верно при любых значениях переменной;
В) неравенство является неверным при любых значениях переменной;
Г) неравенство верно, если х принимает положительные значении
13. На каком из рисунков изображено множество решений неравенства
14. Используя график функции у = на рисунке, найдите число целых решений неравенства: