Начала Евклида. Книга 3. Свойства круга

Пусть данный круг будет ABC; требуется найти центр круга ABC.

Проведём как-нибудь в нём некоторую прямую АВ, рассечём её пополам в точке D, из D под прямыми углами к АВ проведём DC (предложение 11 книги I), продолжим до Е и рассечём СЕ пополам в I (черт. 1). Я утверждаю, что I есть центр круга ABC.

Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть будет Н центром; соединим НА, HD, НВ. И поскольку AD равна DB, a DH общая, то две прямые AD, DH равны двум HD, DB каждая каждой; основание НА равно основанию НВ (ибо обе проведены из центра); значит (предложение 8 книги 1), угол ADH равен HDB.

Если же прямая, восставленная на прямой, образует смежные углы, равные между собой, то каждый из равных углов прямой (определение 10 книги I); значит, угол HDB прямой.

Но и угол IDB прямой; значит, IDB равен HDB — больший меньшему, что невозможно. Значит, Н не есть центр круга ABC.

Подобным образом докажем, что и никакая другая точка, кроме I.

Значит, точка I есть центр круга ABC.

Из этого ясно, что если в круге какая-либо прямая рассекает другую прямую пополам и под прямым углом, то на секущей прямой находится центр круга — это и требовалось сделать.

Предложение 2

Если на окружности взять какие-либо две точки, то прямая, соединяющая эти точки, попадёт внутрь круга.

Пусть круг будет ABC и па обводе его взяты какие-либо две точки А, В. Я утверждаю, что соединяющая А с В прямая попадёт внутрь круга (см. чертеж).

Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть упадёт вне круга, как АЕВ; возьмём центр круга ABC (предложение 1), пусть он будет D; соединим DA, DB и продолжим DIE.

Поскольку теперь DA равно DB, то, значит, и угол DAE равен DBE (предложение 5 книги I); и поскольку в треугольнике DBE продолжена одна сторона ЛЕВ, то, зназначит, угол DEB будет больше DAE. Угол же DAE равен DBE; значит, DEB больше DBE.

Больший же угол стягивается большей стороной(предложение 19 книги 1); значит, DB больше DE. DB же равна DI.

Значит, DI больше DE, меньшая большей, что невозможно.

Значит, соединяющая А с В прямая не попадёт вне круга. Подобным вот образом

докажем, что и не на самый обвод; значит, внутрь.

Значит, если на обводе круга взять две какие-либо точки, то прямая, их соединяющая, попадёт внутрь круга, что и требовалось доказать.

Предложение 12

Если два круга касаются друг друга извне, то прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку касания.

Пусть два круга ABC, ADE касаются друг друга извне в точке А и пусть взяты круга АВС центр I, круга же ADE центр Н; я утверждаю, что прямая, соединяющая I с Н, пройдёт через точку касания А (см. чертеж).

Действительно, пусть это не так, но, если возможно, пусть она пройдёт как ICDH; соединим А1, АН.

Поскольку теперь точка I центр круга ABC, то IA равна IС. Далее, поскольку точка Н центр круга ADE, то АН равна HD.

Доказано же, что и IA равна IС; значит, IA, АН вместе равны IС, HD; так что вся IH больше IA, АН; но она и меньше (предложение 20 книги I), что невозможно.

Значит, соединяющая I с Н прямая не пройдёт вне точки касания А; значит, через неё.

Значит, если два круга касаются друг друга извне, то прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку касания, что и требовалось доказать.|

Предложение 14

В круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой.

Пусть будет круг ABCD и в нём равные прямые АВ, CD; я утверждаю, что АВ, CD равно отстоят от центра (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга ABCD и пусть он будет Е, и из Е к АВ и CD проведём перпендикуляры El и ЕН и соединим АЕ, ЕС.

Поскольку теперь некоторая проведённая через центр прямая El некоторую не проходящую через центр прямую АВ сечёт под прямыми углами, то она сечёт её и пополам (предложение 3).

Значит, AI равна IB; значит, АВ удвоенная AI. Вследствие того же вот и CD удвоенная СН, и АВ равна CD; значит, и AI равна СИ.

И поскольку АЕ равна ЕС, то н квадрат на АЕ равен квадрату на ЕС.

Но квадрату на АЕ равны квадраты на Л/, El <вместе>, ибо угол при I прямой (предложение 47 книги I); квадрату же на ЕС равны квадраты на ЕН, НС <вместе>, ибо угол при Н прямой; значит, квадраты на AI и IE <вместе> равны квадратам на СН, НЕ, из которых квадрат на AI равен квадрату на СН, ибо AI равна СН; значит, остающийся квадрат на IE равен квадрату на ЕН; значит, EI равна ЕН.

В круге же равноотстоящими от центра называются прямые, если проведённые из центра к ним перпендикуляры равны (определение 4); значит, АВ, CD равно отстоят от центра.

Но вот пусть прямые АВ, CD равно отстоят от центра, т. е. El равна ЕН. Я утверждаю, что и АВ равна CD.

Действительно, сделав те же самые построения, подобным же образом докажем, что АВ вдвое больше AF, a CD вдвое больше GH; и поскольку АЕ равна СЕ, то квадрат на АЕ равен квадрату на СЕ; но квадрату на АЕ равны квадраты на El, IA <вместе> (предложение 47 книги 1).

Квадрату же на СЕ равны квадраты на ЕН, НС <вместе>. Значит, квадраты на El, IA <вместе> равны квадратам на ЕН, НС; из них квадрат на EI равен квадрату на ЕН, ибо ЕА равна ЕН; значит, остающийся квадрат на AI равен квадрату на СИ; значит, AI равна СН; и удвоенная AI будет АВ, удвоенная же СН будет CD; значит, АВ равна CD.

Значит, в круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 17

Из данной точки к данному кругу провести касательную прямую линию.

Пусть данная точка будет А, данный же круг BCD; вот требуется из точки А к кругу BCD провести касательную прямую линию (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга Е, соединим АН, и из центра Е раствором ЕА опишем круг AIH, и из D под прямыми углами к ЕА проведём DI и соединим ЕI, АВ; я утверждаю, что из точки А к кругу BCD проведена касательная АВ.

Действительно, поскольку Е — центр кругов BCD, AIH, то значит, ЕА равна El, ED же равна ЕВ; вот две <стороны> АЕ, ЕВ равны двум IE, ED; и они заключают общий угол при Е; значит, основание DI равно основанию АВ, и треугольник DEI равен треугольнику ЕВА, и остальные углы равны остальным (предложение 4 книги I); значит, угол EDI равен углу ЕВА.

Угол же EDI прямой; значит, и угол ЕВА прямой. И BE есть <прямая> «из центра»; прямая же, проведённая к диаметру круга под прямыми углами в концах, касается круга (предложение 16, следствие); значит, АВ касается круга BCD.

Значит, из данной точки А к данному кругу BCD проведена касательная прямая линия АВ, что и требовалось сделать.

Заметим, свойство перпендикулярности касательной к радиусу было известно уже другу Платона Архиту Тарентскому (1-я половина IV в. до н. э.).