8 класс. Геометрия. Признаки параллелограмма. Задачи на параллелограмм.

1. Определение и основные свойства параллелограмма

Нач­нем с того, что вспом­ним опре­де­ле­ние па­рал­ле­ло­грам­ма.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Для того, чтобы иметь воз­мож­ность поль­зо­вать­ся всеми этими свой­ства­ми, необ­хо­ди­мо быть уве­рен­ным, что фи­гу­ра, о ко­то­рой идет речь, – па­рал­ле­ло­грамм. Для этого необ­хо­ди­мо знать такие факты, как при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма. Пер­вые два из них мы се­год­ня и рас­смот­рим.

2. Первый признак параллелограмма

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. .

До­ка­за­тель­ство. Про­ве­дем в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­наль (см. Рис. 2), она раз­би­ла его на два тре­уголь­ни­ка. За­пи­шем, что мы знаем об этих тре­уголь­ни­ках:

Из ра­вен­ства ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых при пе­ре­се­че­нии их се­ку­щей. Имеем, что:

3. Второй признак параллелограмма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. .

До­ка­за­тель­ство. Про­ве­дем в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­наль (см. Рис. 3), она раз­би­ва­ет его на два тре­уголь­ни­ка. За­пи­шем, что мы знаем об этих тре­уголь­ни­ках, ис­хо­дя из фор­му­ли­ров­ки тео­ре­мы:

4. Пример на применение первого признака параллелограмма

А. по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма о про­ти­во­по­лож­ных углах, по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма о сумме углов, при­ле­жа­щих к одной сто­роне.

ре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

5. Повторение: определение и свойства параллелограмма

На­пом­ним, что па­рал­ле­ло­грамм – это че­ты­рёх­уголь­ник, у ко­то­ро­го про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны. То есть, если – па­рал­ле­ло­грамм, то (см. Рис. 1).

Па­рал­ле­ло­грамм об­ла­да­ет целым рядом свойств: про­ти­во­по­лож­ные углы равны ( ), про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны ( ). Кроме того, диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма в точке пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, сумма углов, при­ле­жа­щих к любой сто­роне па­рал­ле­ло­грам­ма, равна и т.д.

Но для того, чтобы поль­зо­вать­ся всеми этими свой­ства­ми, необ­хо­ди­мо быть аб­со­лют­но уве­рен­ны­ми в том, что рас­смат­ри­ва­е­мый че­ты­рёх­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. Для этого и су­ще­ству­ют при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма: то есть те факты, из ко­то­рых можно сде­лать од­но­знач­ный вывод, что че­ты­рёх­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом. На преды­ду­щем уроке мы уже рас­смот­ре­ли два при­зна­ка. Сей­час рас­смот­рим тре­тий.

6. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Для того чтобы до­ка­зать дан­ный факт, необ­хо­ди­мо до­ка­зать па­рал­лель­ность сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма. А па­рал­лель­ность пря­мых чаще всего до­ка­зы­ва­ет­ся через ра­вен­ство внут­рен­них на­крест ле­жа­щих углов при этих пря­мых. Таким об­ра­зом, на­пра­ши­ва­ет­ся сле­ду­ю­щий спо­соб до­ка­за­тель­ства тре­тье­го при­зна­ка па­рал­ле­ло­грам­ма: через ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков .

До­ка­жем ра­вен­ство этих тре­уголь­ни­ков. Дей­стви­тель­но, из усло­вия сле­ду­ет: . Кроме того, по­сколь­ку углы – вер­ти­каль­ные, то они равны. То есть:

(пер­вый при­знак ра­вен­стватре­уголь­ни­ков – по двум сто­ро­нам и углу между ними).

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: (так как равны внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при этих пря­мых и се­ку­щей ). Кроме того, из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что . Зна­чит, мы по­лу­чи­ли, что в че­ты­рёх­уголь­ни­ке две сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны. По пер­во­му при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма: – па­рал­ле­ло­грамм.

7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Если про­ве­сти ана­лиз тре­тье­го при­зна­ка па­рал­ле­ло­грам­ма, то можно за­ме­тить, что этот при­знак со­от­вет­ству­ет свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма. То есть, то, что диа­го­на­ли де­лят­ся по­по­лам, яв­ля­ет­ся не про­сто свой­ством па­рал­ле­ло­грам­ма, а его от­ли­чи­тель­ным, ха­рак­те­ри­сти­че­ским свой­ством, по ко­то­ро­му его можно вы­де­лить из мно­же­ства че­ты­рёх­уголь­ни­ков.