Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс Мы начинаем с известного вам геометрического определения тангенса и котангенса как отношения катетов прямоугольного треугольника. Геометрическое определение Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Угол, лежащий напротив катета a, обозначим (рис. ). c a b Рис.. tg = a/b, ctg = b/a Тангенс угла это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: tg = a b. () Котангенс угла это отношение прилежащего катета к противолежащему катету: ctg = b a. () Значения тангенса и котангенса зависят только от угла ; выбор того или иного прямоугольного треугольника роли не играет. Разделим на c числитель и знаменатель дроби в (): tg = a/c b/c. Как мы знаем, a/c = sin и b/c = cos, поэтому: Поступив аналогично с равенством (), получим: Отметим простое тождество: tg = sin cos. () ctg = cos sin. () tg ctg =. Оно очевидно как из формул (), (), так и из формул (), (). Таким образом, котангенс это величина, обратная тангенсу.

2 Тригонометрическое определение Формулы (), () определяют тангенс и котангенс острого угла. Теперь мы хотим распространить данные определения на произвольные углы. Это не составляет труда на помощь приходят формулы () и (). Мы получили их как следствия выражений () и (), но ничто не мешает превратить их в определения! Определение. Тангенс угла это отношение синуса к косинусу. Котангенс угла это, наоборот, отношение косинуса к синусу : tg = sin cos, cos ctg = sin. Синус и косинус произвольных углов мы вычислять уже умеем, поэтому теперь мы получаем аналогичную возможность для тангенса и котангенса. Линия тангенсов Существует наглядная и очень полезная геометрическая интерпретация тангенса с помощью так называемой линии тангенсов. Линия тангенсов это касательная к тригонометрической окружности, проведённая в точке A(; ). Линия тангенсов изображена на рис.. tg A Рис.. Линия тангенсов Возьмём для начала острый угол. Соответствующая точка расположена в I четверти. Проведём прямую, проходящую через точку и начало координат ; эта прямая пересекает линию тангенсов в точке (рис. ). Из тригонометрического определения тангенса вытекает, что A = tg. В самом деле, согласно определению: tg = sin cos = (здесь и абсцисса и ордината точки ). Но из подобия прямоугольных треугольников и A имеем / = A/A. Поэтому: tg = A A = A = A. Получается, что тангенс угла равен ординате точки. Таким образом, мы приходим к следующему правилу наглядного представления тангенса на линии тангенсов.

3 Геометрическая интерпретация тангенса. Пусть некоторый угол. Проведём прямую через точку и начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию тангенсов в точке. Тогда тангенс угла равен ординате точки. Замечательно, что данная интерпретация справедлива для любого угла (рис. ). Действительно, с учётом знаков и из подобия треугольников и A легко установить, что отношение / (равное по определению tg ) в каждом случае оказывается равно ординате точки. Убедитесь в этом самостоятельно! A tg > A A tg < tg < Рис.. Тангенс во II, III и IV четвертях. Во всех случаях tg = Линия котангенсов Наряду с рассмотренной выше геометрической интерпретацией тангенса существует аналогичная интерпретация котангенса с помощью линии котангенсов. Линия котангенсов это касательная к тригонометрической окружности, проведённая в точке B(; ). Линия котангенсов изображена на рис.. B ctg Рис.. Линия котангенсов Снова начинаем с острого угла. Соответствующая точка расположена в I четверти. Проведём прямую через точку и начало координат ; эта прямая пересекает линию котангенсов в точке (рис. ). Тогда оказывается, что B = ctg. В самом деле, согласно тригонометрическому определению котангенса: ctg = cos sin =.

4 Но из подобия прямоугольных треугольников и B имеем / = B/B. Поэтому: ctg = B B = B = B. Таким образом, котангенс угла равен абсциссе точке. Мы получаем следующий способ наглядного представления котангенса на линии котангенсов. Геометрическая интерпретация котангенса. Пусть некоторый угол. Проведём прямую через точку и начало координат. Пусть эта прямая пересекает линию котангенсов в точке. Тогда котангенс угла равен абсциссе точки. Данная интерпретация справедлива для любого угла (рис. 5). Это устанавливается с помощью тех же рассуждений, что и в случае тангенса. ctg < B B ctg > ctg < B Рис. 5. Котангенс во II, III и IV четвертях. Во всех случаях ctg = Табличные значения тангенса и котангенса Табличными являются углы, /, /, /, /. Синус и косинус этих углов нам уже известны, поэтому теперь мы можем найти соответствующие значения тангенса и котангенса (они называются табличными значениями).. Нулевой угол. Имеем: sin =, cos =, поэтому: tg =, ctg не определён.. Угол /. Имеем: Соответственно, tg = sin cos ctg = tg = / / =. =.. Угол /. Имеем: tg = sin cos ctg =. = / / =,

5 . Угол /. Имеем: tg = sin cos ctg =. = / / =, 5. Угол /. Имеем: sin =, cos =, поэтому: tg не определён, ctg =. График тангенса Для наглядности укажем табличные значения тангенса на линии тангенсов (рис. ). Рис.. Табличные значения на линии тангенсов Из геометрической интерпретации тангенса очевидна его нечётность: tg( ) = tg. Поэтому мы добавили на рисунок отрицательные углы и соответствующие отрицательные табличные значения. Точки ±/ изображены выколотыми: тангенс этих углов не определён (попытка вычислить тангенс такого угла приводит к делению на нуль). Прямая, проходящая через начало координат и данные точки, не пересекает линию тангенсов. 5

6 Изобразим на координатной плоскости полученное соответствие между табличными углами и значениями тангенса (рис. 7). По оси абсцисс отложен угол, по оси ординат тангенс этого угла. Рис. 7. Табличные значения тангенса: график Точки ложатся на плавную кривую, которая служит графиком функции = tg на интервале ( /; /). Прямые = ±/ являются вертикальными асимптотами графика: если угол приближается к ±/, то тангенс неограниченно возрастает по модулю. Что будет за пределами интервала ( /; /)? Оказывается, ничего нового мы не получим, поскольку период тангенса равен (рис. 8). tg( + ) = tg + Рис. 8. Период тангенса равен Как видим, тангенс повторяет свои значения через каждые пол-оборота по тригонометрической окружности. Иными словами, для любого / + k (k Z) выполнено равенство: tg( + n) = tg (n Z).

7 Длина интервала ( /; /) как раз равна периоду тангенса. На этом интервале график уже построен. Следовательно, полный график функции = tg состоит из ветвей, которые получаются сдвигом построенной ветви на ±, ±. (рис. 9). 5 5 Рис. 9. График функции = tg В точках = ±/, ±/, ±5/. в которых тангенс не определён, расположены вертикальные асимптоты графика. График котангенса Начнём с того, что нанесём табличные значения котангенса на линию котангенсов (рис. ). 5 Рис.. Табличные значения на линии котангенсов Точки и изображены выколотыми: котангенс этих углов не существует. Добавлены углы 7

8 /, / и 5/; значения котангенса этих углов очевидны из геометрической интерпретации котангенса. Теперь изобразим ту же самую картину на графике (рис. ). Точки ложатся на плавную кривую, которая служит графиком котангенса на интервале (; ). 5 Рис.. Табличные значения котангенса: график Период котангенса (как и тангенса) равен, поэтому полный график функции = ctg состоит из ветвей, получающихся сдвигом построенной ветви на ±, ±. (рис. ). Рис.. График функции = ctg В точках =, ±, ±. в которых котангенс не определён, расположены вертикальные асимптоты графика. 8

9 Основные свойства функций = tg и = ctg Тангенс не определён в точках /+n (n Z), в которых косинус обращается в нуль. Поэтому D(tg) = < R: >+ n (n Z). Котангенс не определён в точках n (n Z), в которых синус обращается в нуль. Имеем: D(ctg) = < R: n (n Z)>. Тангенс и котангенс могут принимать любые значения. Иными словами, область значения этих функций есть множество всех действительных чисел: E(tg) = E(ctg) = R. Как уже отмечалось выше, период тангенса и котангенса равен : tg( + ) = tg, ctg( + ) = ctg. Периодом будет и любое число n с целым n: tg( + n) = tg, ctg( + n) = ctg, (n Z). Никакое другое число периодом этих функций не является. Таким образом, наименьший положительный период тангенса и котангенса равен. Тангенс функция нечётная. В самом деле, tg( ) = sin( ) cos( ) = sin cos = tg (мы воспользовались нечётностью синуса и чётностью косинуса). Аналогично, и котангенс является нечётной функцией: ctg( ) = ctg. Ввиду нечётности тангенса и котангенса графики функций = tg и = ctg симметричны относительно начала координат. Посмотрите ещё раз на рис. 9 и и убедитесь в том, что указанная центральная симметрия действительно присутствует. 9