§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка Преобразование уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
где коэффициенты А, В, С одновременно в ноль не обращаются.
С помощью преобразования системы координат уравнение (1) может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.
Если в уравнение (1) коэффициент В=0, то оно имеет вид
Ах 2 + Су 2 +2Dх+2Еу+F=0. (2)
К канонической форме уравнение (2) преобразуется с помощью параллельного переноса координатных осей по формулам
где (х0;у0) – координаты нового начала О’ системы координат относительно старой системы. Новые оси О’Х’, О’Y’ параллельны старым осям.
После подстановки формул (3) в уравнение (2) выделяются полные квадраты по переменным х’ и y’.
Если в уравнение (1) В≠0, то путем поворота координатных осей на некоторый угол , определяемый формулой
можно исключить слагаемое, содержащее произведение текущих координат. Для этого необходимо подставить sin и cos в формулы поворота координатных осей:
Затем следует выражение (5) подставить в уравнение (1).
3.3.1. Привести к каноническому виду уравнение 4х 2 +5у 2 +20х-30у+10=0. Построить кривую.
3.3.2. Преобразовать уравнение 3х 2 - ху+у 2 +6х+ у-4=0 к каноническому виду. Построить кривую.
3.3.3. Привести к каноническому виду уравнение 5х 2 -4у 2 +16у-36=0. Построить кривую.
3.3.4. Привести к каноническому виду уравнение х 2 +2ху+у 2 = . Построить кривую.
Ответ: у= -х 2 .
§ 3.4. Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 4.)
Смысл входящих в уравнение коэффициентов
Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0
(x0,y0,z0) – координаты заданной точки;
АВС – координаты заданного вектора
Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
АВС – нормальный вектор плоскости;
х0,y0,z0 – координаты данной точки
Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями
Уравнение плоскости, проходя-щей через три заданные точки
М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами
Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
Уравнение плоскости в отрезках на осях
а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат
аbc≠0
Пусть даны две плоскости 1 и 2:
Угол между двумя плоскостями определяется как .
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
Условие параллельности двух плоскостей:
Расстояние от точки до плоскости:
где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x0,y0,z0) – данная точка.
3.4.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) перпендикулярно вектору .
Ответ: х-2у-3z+14=0.
3.4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;3;-1), М2(1;5;3) перпендикулярно плоскости 3х-у+3z+15=0.
Ответ: 2х+3у-z-14=0.
3.4.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0.
Ответ: х-4у+5z+15=0.
3.4.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;-3;1) параллельно векторам .
Ответ: х+у-z+2=0.
3.4.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;2;-2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3х-2у-z+1=0 и х-у-z=0.
Ответ: х+2у-z-8=0.
3.4.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3;-1;2), М2(4;-1;-1), М3(2;0;2) .
Ответ: 3х+3у+z-8=0.
3.4.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М0(1;-2;1).
Ответ: 2х+у=0.
3.4.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;3;-4) параллельно плоскости YOZ.
Ответ: х-2=0.
3.4.9. Найти расстояние от точки М1(2;-1;-1) до плоскости 16х-12у+15z-4=0.
3.4.10. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+ z+1=0.
3.4.11. Даны точки М1(0;-1;3), М2(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .
Ответ: х+4у+2z-2=0.
3.4.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0;-5;0) и (0;0;2) перпендикулярно плоскости х+5у+2z-10=0.
Ответ: 2у-5z+10=0.
3.4.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;1;4) параллельно плоскости 3х+2у-7z+8=0.
Ответ: 3х+2у-7z+32=0.
3.4.14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;3;6) перпендикулярно плоскостям 2х+3у-2z-4=0, 3х+5у+z=0.
Ответ: 13х-8у+z+44=0.
3.4.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(1;-1;0), М2(2;1;-3), М3(-1;0;1) .
Ответ: х+у+z=0.
3.4.16. Найти угол между плоскостями х+2у-3z+4=0, 2х+3у+z+8=0.
3.4.17. Найти расстояние от точки М0(1;3;-2) до плоскости 2х-3у-4z+12=0.