Урок по теме "Задачи на растворы, смеси и сплавы". 9-й класс (алгебра)

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С.А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
• решения полученной модели;
• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты:не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.

• масса раствора (смеси, сплава);
• масса вещества;
• доля (% содержание) вещества.

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Урок по решению этих задач целесообразно провести в ходе обобщающего повторения по алгебре в конце 9 класса.

Цель урока :обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.

I ) Актуализация опорных знаний обучаемых.

С помощью таблицы повторить основные теоретические сведения по данной теме. При этом учащиеся составляют опорный конспект (или используют “Приложение 1”, где уже напечатаны основные теоретические сведения, тексты задач и незаполненные таблицы к задачам).

Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда

- доля вещества в растворе;

- доля воды в растворе;

· 100 % - концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;

· 100% - процентное содержание воды в растворе;

При этом · 100 % + · 100% = 100%.

Примечание 1. Вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.

Примечание 2. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

Примечание 3. Вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части (mч и Мч ).

II) Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

III) Решение задач.

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

Ответ:концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.

Очень часто в жизни приходится решать следующую задачу.

Задача 2.Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,12у + 0,2у = 0,01х·2у

Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что , имеем

Ответ :концентрация раствора 16 %.

Задача 4. Смешали 8кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

Уравнение для решения задачи имеет вид:

0,01х·20 = 0,18·8 + 0,08·12

Ответ:концентрация раствора 12 %.

Задача 5 Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?

Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)

Выполним вторую операцию:

Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).

Для решения задачи получаем систему уравнений:

Решаем систему уравнений:

Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.

Задача 6. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задача 7. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве

·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве

121+255=376 (кг) – масса III сплава

88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве

Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 8. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.

По условию задачи А :В = 5 :6, тогда

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

Решаем уравнение относительно . Получим = .

Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.

Задача 9.Из полного бака, содержащего 256 кг кислоты, отлили п кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили п кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 8 раз, раствор в баке стал содержать 1 кг кислоты. Найдите величину п.

В этой задаче важно правильно определить и сохранить вид отдельных выражений – количество кислоты и долю кислоты в растворах, чтобы выявить закономерность.

Кроме того это должно тренировать и закреплять соответствующие модели отдельных бытовых действий.

Составляем уравнение для решения задачи :

Ответ :n = 128.

IV) Домашнее задание: составить и решить не менее двух задач на “растворы, смеси и сплавы”.

Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.).

Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.

Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.