Задача Александра Ивановича Корейко

Александр Иванович Корейко, один из ничтожнейших служащих ГЕРКУЛЕС’а, был человек в последнем приступе молодости, ему было 38 лет. На красном сургучном лице сидели желтые пшеничные брови и белые глаза. Английские усики цветом даже походили на созревший злак. Лицо его казалось бы совсем молодым, если бы не грубые ефрейторские складки, пересекавшие щеки и шею. На службе Александр Иванович вел себя как сверхсрочный солдат: не рассуждал, был исполнителен, трудолюбив, искателен и туповат.

— Робкий он какой-то, — говорил о нем начальник финсчета, — какой-то уж слишком приниженный, преданный какой-то чересчур. Только объявят подписку на заем, как он уже лезет со своим месячным окладом. Первым подписывается. А весь оклад-то 46 рублей. Хотел бы я знать, как он существует на эти деньги.

Была у Александра Ивановича удивительная особенность. Он мгновенно умножал и делил в уме большие трехзначные и четырехзначные числа. Но это не освободило Александра Ивановича от репутации туповатого парня.

— Слушай, Александр Иванович, — спрашивал сосед, — сколько будет 836 на 423? («Золотой теленок», Илья Ильф, Евгений Петров )

Перечитывая роман «Золотой теленок», я решил повторить расчеты подпольного миллионера. Я не обладаю способностью перемножать в уме большие числа и не ставлю перед собой задачу таковую способность развить. Моя цель скромнее — найти способ быстрого вычисления вышеприведенного примера. В качестве инструмента я решил использовать коллекцию красивых произведений, которую собрал по дороге на работу и храню в сотовом телефоне. Вот некоторые из них:

• 13*23 =299
• 17*47 =799
• 7*11*13=1001

По поводу разложения на множители. Как это сделать быстро. Берем первое число 423, сумма цифр делится на 9 значит число тоже делится на 9. Для деления используем быстрый алгоритм, который приводится ниже. 423/9= 46,(9)=47. Второе число 836.Первый делитель почти очевиден — это 4. 836=4*209. 209 делится на 11, согласно соответствующему признаку делимости. Способ деления на 11 почти повторяет, метод который мы использовали для деления на 9 209/11= 2 (-2),11 (-11)= 18,9999..=19.

Теперь перепишем исходный пример в следующем виде:

423*836=4*99*47*(17+2)=4*99*799+4*99*94, здесь я использовал красивое произведение 17*47 =799.

4*99*799=4*(100-1)*(800-1)=4*(80000-900+1)=320 000-3 600+4

Осталось сложить полученные выражения:

320 000 + (37 600-3 600) + (4-376) = 320 000 + 34 000 — 372 = 354 000 — 372 = 353 628

Наш результат совпадает с ответом Корейко. Разумеется, в уме приведенные расчеты выполнить, скорее, всего, невозможно. Мне помогали карандаш и бумага. Вопрос о том, как вычислить пример устно, остается открытым.

Прочитав полученные комментарии, я должен признать, что не нашел того, что искал. По-видимому, неверно изложил свою мысль. В прекрасной книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» есть глава, которая называется «Счастливые числа». В ней Ричард Фейнман рассказывает о своей коллекции методов и чисел для быстрых вычислений.

А ведь число 1729 обладает интересным свойством. Однажды Годфри Харди приехал навестить в больнице Сриниваса Рамануджана. Харди приехал на такси с номером 1729 и по ходу беседы с Рамануджаном заметил, что, мол, удивительно скучное число ему попалось в качестве номера. На это индиец ответил, что это не правда — 1729 является минимальным натуральным числом, представимым в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя разными способами. Действительно,

1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3.

Не правда ли, удивительное совпадение?

Тем не менее, я не оставлял попыток найти быстрое решение для примера Корейко. Этот метод мне понравился, хотя и он несовершенен.

Произведение (840-4)*(420+2) является аналогом известной формулы (a-b)*(a+b). В нашем случае перекрестные произведения 840*2 и 420*4 равны и имеют противоположные знаки, поэтому они сокращаются. На выходе получаем следующее:

Возвести 21 в квадрат можно разными способами. Наверное самый простой, через выражение 21^2-20^2=41. Отсюда 21^2=400+41=441; 441*8=3200+320+8=3528.

И окончательно, 352800+828=353 628.

Посмотрев на решение, увидел еще одно упрощение.

А последнее выражение уже действительно считается в уме.

Вернувшись спустя какое-то время к данному примеру, я попытался еще раз быстро вычислить 840*420. Предыдущий вариант с умножением 8*21*21 меня не совсем устраивал. Попытаемся вычислить 2*42*42. Квадрат чисел в интервале 41. 49 можно получить следующим образом.

(40+i)^2=(15+i)*100+(10-i)^2. В нашем случае 42^2=(15+2)*100+64=1764. А искомое значение равно 2*1764=3528

Окончательный результат, естественно, не изменился и равен 352800+828=353 628.

Ну и последнее замечание о примере Александра Ивановича. Вернемся к представлению искомого числа через множители 4*9*11*19*47. Сгруппировав коэффициенты разложения, получим (400-4)*(900-7). В таком виде задача решается совсем быстро и на этом я решил для себя, что вопрос закрыт.

Надо заметить, что кроме Корейко неплохо считали в уме и другие литературные персонажи. Например, Воланд.

− Девять месяцев, − задумчиво считал Воланд, − двести сорок девять тысяч… Это выходит круглым счетом двадцать семь тысяч в месяц? Маловато, но при скромной жизни хватит. Да еще десятки.

− Десятки реализовать не удастся, − ввязался все тот же голос, леденя сердце буфетчика, − по смерти Андрея Фокича дом немедленно сломают и десятки будут отправлены в госбанк.

Размышления над способами быстрого деления на 9 привели меня к следующим наблюдениям. Поскольку мы можем заменить деление умножением на 0,111. то в некоторых случаях выручает следующий алгоритм. Сначала ищется период итоговой дроби — это остаток от деления суммы цифр исходного числа на 9, в нашем случае это (2+4+9)%9=6. Затем начинаем двигаться слева направо и записывать сумму цифр делимого.

Десятки по правилам сложения в столбик переносим в левый разряд. Ответ — 27,66666…

Еще один пример 734/9.

А вот еще один литературный герой, который отличался быстротой устного счета

— Ну, видите ли, я вдруг постигнул ваш характер. Итак, почему ж не дать бы мне по пятисот рублей за душу, но… состоянья нет; по пяти копеек, извольте, готов прибавить, чтобы каждая душа обошлась, таким образом, в тридцать копеек.

— Ну, батюшка, воля ваша, хоть по две копейки пристегните:

— По две копеечки пристегну, извольте. Сколько их у вас? Вы, кажется, говорили семьдесят?

— Нет. Всего наберется семьдесят восемь.

— Семьдесят восемь, семьдесят восемь, по тридцати копеек за душу, это будет… — здесь герой наш одну секунду, не более, подумал и сказал вдруг: — это будет двадцать четыре рубля девяносто шесть копеек! — он был в арифметике силен.

Пример Чичикова, разумеется, проще задачи Корейко, но и здесь есть различные подходы. Предлагаю решение от программиста, то есть человека который помнит степени двойки.

Но Чичиков не был программистом, Павел Иванович добывал себе на жизнь иным трудом. А посему, считать предложенным способом не мог. У него был другой подход, возможно, такой.

(80-2)*(30+2)= 2 400+2*(80-30)-4=2 500-4=2 496

А может и такой. Вспомним следующий прием. Если надо умножить что-то на 33, то мы можем разделить это что-то на 3, умножить результат на 100 и вычесть первое частное. Таким образом, 78*33= 26*100-26, а 78*32=26*100-26-78=25*100-4=2 496

Я имею обыкновение возвращаться к старым задачам, хотя бы для того чтобы вспомнить условие. В этот раз я обнаружил, что пример Чичикова можно решить с помощью алгоритма перемножения чисел, последние цифры которых дают в сумме 10. Это метод открыл один из учеников Рачинского С.А. Вот как это делается: