Изображение плоских фигур при параллельном проектировании

В статье “Параллельное проектирование как метод изображения пространственных фигур на плоскости” было рассказано о сути метода параллельного проектирования и его свойствах. Но как показывает практика, учащимся трудно воспринимать теоретические выкладки без демонстрации на конкретных примерах.

В данной статье покажем, как использовать свойства параллельного проектирования и свойства известных школьникам плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и шестиугольника) для изображения этих фигур при параллельном проектировании.

1) Любой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, правильной) изображается произвольным треугольником в удобном расположении на рисунке.

2) Если ΔA1B1C1 – прямоугольный, то изображение направлений двух его высот (катетов) задано. Произвольно изображаются высота, опущенная на гипотенузу, и центр вписанной окружности. Изображение перпендикуляра, опущенного из заданной точки гипотенузы на какой-либо катет, является отрезком, параллельным другому катету.

3) Если ΔA1B1C1 – равнобедренный, то изображение медианы B1D1 является изображением высоты и биссектрисы ΔA1B1C1 . Изображение центра вписанной и описанной окружностей принадлежат BD.

4) Если ΔA1B1C1 – правильный (равносторонний), то центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан. Поэтому построение изображения этого треугольника не может быть произвольным, если задан, например, центр одной из этих окружностей.

Любой заданный параллелограмм A1B1C1D1 (включая прямоугольник, квадрат, ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.

На изображении произвольного параллелограмма изображения двух его высот, проведенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты, проведенные из вершины острого угла параллелограмма – оригинала, лежат вне параллелограмма, а высоты, проведенные из вершины тупого угла – внутри него.

1) Если A1B1C1D1 – ромб, то на изображении определяется пара взаимно перпендикулярных прямых – это диагонали ABCD. Поэтому произвольно можно построить изображение только лишь одной высоты из данной вершины ромб на его сторону.

При изображении другой высоты ромба учитывают, что основания этих высот лежат на прямой, параллельной диагонали ромба.

Аналогично изображаются перпендикуляры, опущенные на стороны ромба из любой точки его диагонали.

2) Если A1B1C1D1 – квадрат, то его изображение – произвольный параллелограмм ABCD. Причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам строить произвольно нельзя.

Любая трапеция A1B1C1D1 (а также равнобокая и прямоугольная) может быть изображена произвольной трапецией ABCD.

1) Если A1B1C1D1 — трапеция общего вида, то изображение ее высоты и одного из перпендикуляров, опущенных из точки основания на боковые стороны, можно строить произвольно.

2) Если A1B1C1D1 — прямоугольная трапеция, то C1B1 ⊥ A1B1, изображение высоты трапеции уже задано на рисунке, поэтому произвольно может быть изображен лишь перпендикуляр к наклонной боковой стороне.

3) Если A1B1C1D1 — равнобокая трапеция (есть ось симметрии), то изображением высоты является отрезок, соединяющий середины верхнего и нижнего оснований трапеции (или ему параллельный).

Параллельной проекцией окружности является эллипс. Центром окружности на изображении является точка пересечения сопряженных диаметров эллипса. Два диаметра окружности (эллипса) называются сопряженными , если каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру.

Правильный шестиугольник A1B1C1D1E1F1 изображается так: сначала изображается произвольный параллелограмм BCEF и проводятся его диагонали BE и CF; затем от точки их пересечения О откладываются равные отрезки произвольной длины (но большей половины стороны ВС) параллельно сторонам BC и EF. Концы построенных отрезков – это вершины A и D.

Итак, мы рассмотрели всевозможные варианты изображения плоских фигур на плоскости с использованием метода параллельного проектирования.

В следующей статье мы рассмотрим изображение пространственных фигур на плоскости.

Мое педагогическое кредо: "Чтобы быть хорошим преподавателем, нужно любить то, что преподаешь, и любить тех, кому преподаешь."