эта странная математика: 1, 2, 4, 8 (продолжение)

Соберём вместе всё, что мы знаем об исключительности алгебр R, C, H, Ca:

1) Алгебры R, C, H, Ca являются единственными нормированными евклидовыми алгебрами с единицей. 2) Алгебры R, C, H, Ca являются единственными альтернативными алгебрами над R без делителей нуля. 3) Алгебры R, C, H, Ca являются единственными конечномерными алгебрами с единицей над R, у которых каждый ненулевой элемент вполне обратим. [Элемент a кольца называется вполне обратимым, если существует элемент a -1 , такой что a -1 (ax) = (xa)a -1 = x для всех x из кольца.]

Утверждение 3) следует из того, что алгебра с единицей и вполне обратимыми элементами является альтернативной алгеброй без делителей нуля. (См. Мальцев А.И., "Алгебраические системы", гл.2, п.4.3.)

Неуникальность алгебр R, C, H, Ca. Изотопия

Однако, если мы рассмотрим более широкие классы алгебр, например, следующие:

-- Нормированные евклидовы алгебры без единицы. -- Конечномерные алгебры над R c делением с ассоциативными степенями. -- Конечномерные алгебры над R с делением. -- Конечномерные алгебры над R без делителей нуля.

то окажется, что такие алгебры не сводятся к четырём алгебрам R, C, H, Ca. Их существует очень много, и полное их описание ещё не получено. Но можно с уверенностью сказать, что размерность таких алгебр будет равна одному из чисел 1,2,4,8 -- в силу того, что нормированные алгебры и алгебры без делителей нуля будут алгебрами с делением, для которых справедлив положительный ответ на вопрос (D). Примеры таких алгебр можно построить, используя понятиеизотопии.

Определение. Две алгебры (K,*) и (K,#), заданные на одном и том же векторном пространстве K, называются изотопными, если существуют обратимые линейные преобразования A,B,C векторного пространства K, такие что для любых x,y из K верно:

Изотопия алгебр является отношением эквивалентности, более грубым по сравнению с изоморфизмом (изотопия будет изоморфизмом, если A=B=C^(-1)). То есть, многие неизоморфные алгебры могут бытьизотопны.

Легко видеть, что свойство однозначного деления в алгебре сохраняется при изотопиях. Более того, произвольно выбирая ненулевой элемент e в алгебре K, и полагая A = левый сдвиг на e, B = правый сдвиг на e, C = id, мы получим, что любая алгебра с делением изотопна алгебре с делением, имеющей единицу. Это даёт нам эквивалентность вопросов (D) и (D1).

С помощью изотопии легко получается описание ВСЕХ нормированных евклидовых алгебр (то есть, не обязательно имеющих единицу). А именно, имеет место следующий факт:

Факт 6. Любая нормированная евклидова алгебра может быть получена из одной из нормированных алгебр с единицей (т.е. из R, C, H, Ca) введением нового умножения * по формуле:

где A и B -- произвольные ортогональные преобразования евклидова пространства алгебры.

[Доказательство см. в книге Кантор, Солодовников, "Гиперкомплексные числа".]

Взаимосвязь между топологическими вопросами

Между остальными вопросами тоже существуют весьма интересные взаимосвязи, но для аккуратного их изложения требуется гораздо больше объёма, чем может вместить разумный постинг. Полная диаграмма импликаций между вопросами (A)-(K) приведена в книге Постникова М.М. "Дифференциальная геометрия", лекция 24. Мы рассмотрим лишь некоторые из них.

Если A -- алгебра с делением над R размерности n, имеющая единицу, то на сфере S n-1 существует структура гладкой квазигруппы. Нужно ввести произвольным образом на A евклидову норму, относительно которой A, вообще говоря, не будет нормированной алгеброй. После чего спроектировать операцию в алгебре на сферу, состоящую из элементов нормы 1, то есть, ввести новую операцию для элементов сферы: u*v := (uv)/|uv|. Нетрудно проверяется, что относительно операции u*v сфера S n-1 будет гладкой квазигруппой.

Если S n-1 имеет структуру гладкой квазигруппы, то она параллелизуема. Действительно, операция домножения на любой её элемент x является диффеоморфизмом сферы, переводящим единицу в элемент x. Дифференциалы левых сдвигов устанавливают изоморфизм касательных пространств, перенося произвольный базис пространства в единице в базис касательного пространства в точке x. Этим устанавливается параллелизуемость сферы, то есть тривиальность её касательного расслоения.

Таким образом, если доказать, что сфера S n-1 непараллелизуема при n не равном 1,2,4,8, то тем самым будет доказано, что вне этих размерностей вещественная алгебра с делением существовать не может. Именно этот результат и доказал Адамс в 1960 году, используя разработанную им же мощную технику когомологических операций Адамса (как их сейчас называют). Он доказал, что максимальное число линейно независимых векторных полей на сфере S n-1 задаётся числом ρ(n)-1, где функция ρ вычисляется следующим образом:

ρ(n) = 2 c + 8d, где числа c и d -- это остаток и (неполное) частное при делении на 4 максимальной степени двойки, которая делит n, т.е. если n = (2a+1)2 b , то b = c + 4d, с = 0,1,2,3.

Вот такая загадочная функция ρ лежит в основе этого удивительного феномена! Таким образом, наше множество 1,2,4,8 является не волюнтаристским ограничением геометрического ряда 2 k , а решением уравнения ρ(n)=n, что выглядит намного естественнее.

Любопытно, что функция ρ(n) впервые возникла в доказательстве теоремы Гурвица. Эта функция даёт нам максимальное число k=ρ(n), такое что в пространстве R n существует вещественное ортогональное представление некоторой конечной группы порядка 2 k , задаваемой k образующими и соотношениями следующим образом:

Если есть такое представление φ:Gk --> On, то ρ(n) линейно независимых векторных полей на сфере S n-1 задаются так: точке x сферы (мыслимой как вектор из R n ) ставим в соответствие вектор Vi(x)=φ(ai)x для всех i=1. ρ(n). При каждом фиксированном i получаем векторное поле Vi(x). Нетрудно проверить, что вектор Vi(x) ортогонален вектору x, и всем векторам Vj(x).

Кто бы мог подумать, что эта причудливая группа имеет столь фундаментальное значение!

Пока что все объяснения феномена были не очень удовлетворительны (на мой взгляд). К счастью, есть ещё одно объяснение, на этот раз связанное с вопросом (K). Оно появляется из K-теорного доказательства утверждения о том, что отображение с нечётным инвариантом Хопфа может существовать лишь при n=2,4,8. А именно, из элементарных свойств операций Адамса ψ i вытекает при n=2m сравнение:

k m -1 = 0 mod 2 m ,

которое должно выполняться для всех нечётных k. А это возможно только для m = 1,2,4 (проверьте!), т.е. n=2,4,8.

Подытожив, мы сделать следующие выводы в попытке объяснения, "почему 16 не годится":

(1) (альтернативные алгебры) Свойство альтернативности оказывается очень редким и хорошим, чтобы существовать в высших размерностях. Оно "вымирает" после размерности 8.

(2) (параллелизуемость сфер) Множество является решением уравнения ρ(n)=n для функции ρ( (2a+1)2 c+4d ) = 2 c + 8d.

(3) (нечётность инварианта Хопфа) Множество является удвоенным решением сравнения 3 m -1 = 0 mod 2 m (вместо 3 может быть любое нечётное число большее единицы).

Для тех, кто любит читать:

Композиционные алгебры и обобщённая теорема Гурвица: 1. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978. (Серия "Современная алгебра") -- Гл. 2, п. 1-3, а также гл.7, п. 3.

Теорема Гурвица о композиции и доказательство Экмана: 2. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. -- Гл. 5, п. 5.2.

Обобщённые кватернионы и другие алгебры с делением над различными полями: 3. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. -- Гл. 1, п.1.6-1.7, а также гл. 17-19.

Обобщённая теорема Фробениуса и изотопия алгебр: 4. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Физматлит, 1962. -- Гл. 5, п.8, гл.2, п. 6.

Нормированные евклидовы алгебры и популярное изложение четырёх исключительных алгебр: 5. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973.

Взаимосвязь топологических вопросов: 6. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. (Лекции по геометрии. Семестр IV.) М.: Наука, 1988. -- Лекции 8, 24.

Эскиз оригинального доказательства Адамса: 7. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970. -- Гл. 10.

K-теорное доказательство результата Адамса: 8. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989. -- Гл. 6, п. 39. (см. также "Дифф. геометрию" Постникова, лекция 24).