1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА Электрическая цепь, ее элементы и параметры

1 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.1. Электрическая цепь, ее элементы и параметры Основные электротехнические устройства по своему назначению подразделяются на устройства, генерирующие электрическую энергию, и устройства, использующие электрическую энергию. В источнике электрической энергии механическая, тепловая, химическая или атомная энергия преобразуется в электрическую энергию. Потребители преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии. Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для генерирования, передачи, преобразования и использования электрической энергии. Процессы в них могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, электрическом напряжении и электродвижущей силе (ЭДС). Отдельные устройства, входящие в электрическую цепь, называются элементами электрической цепи. Часть электрической цепи, содержащая выделенные в ней элементы, называется участком цепи. Элементы электрической цепи, предназначенные для генерирования электрической энергии, называются источниками питания, а элементы, использующие электрическую энергию, называются приемниками электрической энергии. Элементы электрической цепи, связывающие между собой источники и приемники энергии, называются звеньями. Кроме электрических проводов, к звеньям относятся приборы контроля и управления, а также преобразующие устройства (трансформаторы, выпрямители и т.п.). Узел это точка электрической цепи, в которой сходятся три или больше проводов. Ветвь это часть электрической цепи между двумя соседними узлами. Между двумя соседними узлами может быть несколько ветвей. Они оказываются включенными параллельно друг другу. Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, называется электрической схемой цепи. Все основные и вспомогательные элементы в схемах электрических цепей имеют условные графические обозначения (рис. 1.1). 9

2 E + I r U и U 1 0 U Рис Схема электрической цепи Направление тока в замкнутой электрической цепи принято от положительного полюса источника питания к отрицательному. На всех участках неразветвленной электрической цепи протекает один и тот же ток. Для замкнутой неразветвленной электрической цепи (см. рис. 1.1) величина тока определяется по закону Ома: E I = R + R +, (1.1) 1 r0 где Е ЭДС источника питания; и сопротивления резисторов; r 0 внутреннее сопротивление источника питания. В электрической цепи различают два участка: внутренний и внешний. Источник является внутренним участком. Все остальные элементы относятся к внешнему участку. Источник электрической энергии осуществляет направленное перемещение электрических зарядов по всей замкнутой цепи. Интенсивность направленного перемещения зарядов характеризует величину тока I. Из уравнения (1.1) определим ЭДС. E = I (R1 + R + r0 ) = I R1 + I R + I r0. (1.) Таким образом, при протекании тока в цепи на каждом элементе возникают падения напряжения: U1 = I R1; U = I R; (1.3) U =, 0 I r0 где U 1 и U падения напряжения на внешнем участке цепи; U 0 падение напряжения на внутреннем участке цепи. С учетом соотношений (1.3) уравнение (1.) примет вид где E = U1 + U + U 0 = U и + U 0, (1.4) U и = U 1 + U напряжение на выходе источника питания. Из уравнения (1.4) U и = E U 0, (1.5) или U и = E I r 0. (1.6) 10

3 Из уравнения (1.6) видно, что напряжение на выходе источника питания меньше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника. С увеличением нагрузки во внешней цепи (например, уменьшением сопротивления ) увеличивается ток (см. рис. 1.1), следовательно, увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника r 0, что приводит к уменьшению напряжения на выходе источника питания. Зависимость выходного напряжения источника питания от тока нагрузки называется внешней характеристикой источника питания (рис. 1.). U E Ir 0 U и Рис. 1.. Внешняя характеристика источника питания 1.. Способы соединения резисторов в электрических цепях Последовательное соединение резисторов I Последовательное соединение резисторов это такое соединение, при котором через все участки цепи протекает один и тот же ток (рис. 1.3). Полное сопротивление цепи R= + +. (1.7) По закону Ома U I = R1 + R + R. (1.8) 3 В соответствии со вторым законом Кирхгофа U=U 1 +U +U 3. (1.9) + U U 1 I U U 3 Рис Последовательное соединение резисторов 1. Параллельное соединение резисторов Параллельное соединение резисторов это такое соединение, при котором все участки цепи подключены к одной паре узлов, т.е. находятся под одним напряжением (рис. 1.4). Для данной схемы 11

4 + U I I 1 I Рис Параллельное соединение резисторов U I = ; R 1 1 U I = ; I=I 1 +I. (1.10) R Используя уравнения (1.10), выведем соотношения для определения полного сопротивления всей цепи: U U U = +. (1.11) R R1 Разделим обе части уравнения (1.11) на величину U: = +. (1.1) R R1 R Из уравнения (1.1) R1 R R =. (1.13) R + R E 4 + E 1 + I Рис Схема неразветвленной цепи с четырьмя источниками питания Режимы работы источников питания E 3 + E + Рассмотрим неразветвленную цепь с четырьмя источниками питания (рис. 1.5). Источники ЭДС Е 1, Е, Е 4 включены согласно друг с другом. Источник ЭДС Е 3 по отношению к ним включен встречно. Направление тока в такой цепи определяется направлением суммарной большей ЭДС, действующей в данном контуре. Допустим, что Е 3 <Е 1 +Е +Е 4, тогда ток в данной цепи будет направлен против часовой стрелки. Источник, ЭДС которого имеет одинаковое направление с током (в данном случае Е 1, Е, Е 4 ), работает в режиме генератора. Напряжение такого источника меньше ЭДС этого источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника. U = E I r 0. (1.14) Источник, направление ЭДС которого противоположно току (в данном случае Е 3 ), уменьшает ток в цепи и работает в режиме нагрузки, т.е. является потребителем электрической энергии. Напряжение такого источника 1

5 U = E + I r 0. (1.15) Таким образом, у источников в режиме генератора напряжение меньше ЭДС, а в режиме потребителя больше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника Баланс мощностей электрической цепи Любой источник питания имеет определенный запас энергии, которая расходуется в приемниках электрической энергии. В элементах электрической цепи происходит преобразование одного вида энергии в другой. Скорость такого преобразования энергии определяет электрическую мощность Р. A I U t P = = = I U, (1.16) t t где А работа, или электрическая энергия; t время. В выражении (1.16) работа измеряется в джоулях (Дж), мощность в ваттах (Вт), время в секундах (с). Практической единицей измерения электрической энергии является киловатт-час (квт ч), т.е. работа, совершаемая при неизменной мощности 1 квт в течение одного часа. Для источника ЭДС, направление которой совпадает с направлением тока, мощность считается положительной. P=E I. (1.17) Если направления ЭДС и тока противоположны, то P= E I. (1.18) Для приемников электрической энергии, в частности для резисторов, мощность можно определить через величину сопротивления, заменив по закону Ома U=I R: P=U I=I R, (1.19) где U падение напряжения на сопротивлении R. В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический баланс баланс мощностей, т.е. алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии должна быть равна алгебраической сумме мощностей всех приемников электрической энергии P и = Pп. В качестве примера составим баланс мощностей для цепи на рис. 1.5: E1 I + E I E3 I + E4 I = (1.0) = I R + I R + I R + I r + I r + I r + I r

6 З О E 4 r 04 + Ж E 1 r Потенциалы точек электрической цепи. Потенциальная диаграмма + I А E 3 r 03 + Д Б + E r 0 Г В Рис. Рис. 6. Схема 1.6. для Схема расчета для расчета потенциалов потенциалов отдельных отдельных точек цепи точек цепи В любом замкнутом контуре можно рассчитать потенциалы точек электрической цепи и по их значениям определить напряжение на любом участке цепи. Вычислим потенциалы точек, обозначенных в рассматриваемой схеме (рис. 1.6). В этой схеме, как было сказано выше, источники ЭДС Е 1, Е, Е 4 работают в режиме генератора, а источник ЭДС Е 3 работает в режиме нагрузки, ток направлен против часовой стрелки. Для расчета потенциалов точек замкнутого контура электрической цепи выбирается исходная точка, от которой начинается расчет. Потенциал этой точки принимается равным нулю (условно ее соединяют с массой). В данной схеме за исходную взята точка О (см. рис. 1.6). Таким образом, φ О =0. Относительно этой точки в направлении протекания тока рассчитываются потенциалы всех точек контура. Если на участке между двумя точками включен источник питания, работающий в режиме генератора, то потенциал последующей точки будет больше потенциала предыдущей на величину напряжения этого источника. ϕ А = ϕо + ( E I r01). (1.1) Если на участке между двумя точками включен приемник электрической энергии, то потенциал последующей точки будет меньше потенциала предыдущей на величину падения напряжения на этом участке. ϕ Б = ϕ А I. (1.) Запишем уравнения для потенциалов остальных точек цепи: ϕ В = ϕ Б + ( E I r0 ); (1.3) ϕ Г = ϕ В I ; (1.4) ϕ = ϕ ( E + I 03 ) ; (1.5) Д Ж Г 3 r Д I ϕ = ϕ ; (1.6) 14

7 ϕ З = ϕ Ж + ( E4 I r04 ). (1.7) Так как на участке между точками З и О нет ни источников, ни приемников электрической энергии, то ϕ З = ϕ О = 0. Потенциальная диаграмма представляет собой график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивлений участков между этими точками (рис. 1.7). φ, В r 01 А Б r 0 В Г Д r 03 Рис Потенциальная диаграмма Потенциальная диаграмма строится в масштабе. По горизонтальной оси откладываются величины сопротивлений последовательно друг за другом по обходу контура. По вертикальной оси откладываются потенциалы точек. Допустим, что в результате расчета получились такие потенциалы: φ О =0; φ А =8, В; φ Б = 3 В; φ В =0; φ Г = 3 В; φ Д = 6, В; φ Ж = 14, В; φ З =0. Отметив эти точки в координатной системе и соединив их отрезками прямых линий, получим потенциальную диаграмму (см. рис. 1.7). Имея потенциальную диаграмму или величины потенциалов точек цепи, легко определить напряжение между заданными точками. Например, U = ϕ ϕ = 3 ( 6, ) 3, В. БД Б Д = Ж r 04 З R 15

8 Это же напряжение можно определить графически, как показано на диаграмме Анализ электрических цепей с одним источником питания В большинстве случаев при расчете электрических цепей известными (заданными) величинами являются электродвижущие силы (ЭДС) или напряжения и сопротивления резисторов, неизвестными (рассчитываемыми) величинами токи и напряжения приемников Метод свертывания схемы Метод свертывания схемы заключается в доведении ее до схемы с одним эквивалентным сопротивлением, т.е. заменяются последовательно и параллельно соединенные сопротивления одним эквивалентным. Рассмотрим простую электрическую цепь, изображенную на рис I I 3 а R 4 R 5 I 1 I 5 I 4 R 6 I 6 Е 1, r 0 Рис Схема электрической цепи постоянного тока Пусть известны величины сопротивлений. R 4, R 5, R 6, ЭДС Е источника и его внутреннее сопротивление r 0. Требуется определить токи во всех участках цепи. 16

9 Сопротивления R 5 и R 6 соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление будет равно R5 R6 R56 =. (1.8) R5 + R6 Сопротивление R 56 соединено последовательно с R 4, следовательно, эквивалентное сопротивление ветви, состоящей из сопротивлений R 4, R 5, R 6, будет равно R 456 =R 4 +R 56. (1.9) Эквивалентное сопротивление, заменяющее сопротивления и, будет равно 3 = +. (1.30) После произведенных преобразований схема электрической цепи упрощается (рис. 1.9). I 1 а 3 R 456 I I 4 Е 1, r 0 Рис Схема электрической цепи постоянного тока после преобразования Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы R3 R456 R экв = R1 +. (1.31) R3 + R456 Ток I 1 определим по закону Ома E I1 =. (1.3) Rэкв + r0 Определим напряжение между узлами и : U =I 1 R, (1.33) где R3 R456 R =. (1.34) R3 + R456 По закону Ома для участка цепи определим токи: 17

10 U I = I3 = ; R3 (1.35) U I 4 =. R456 (1.36) Ток I 4 определим и по первому закону Кирхгофа: I 4 = I1 I. (1.37) Схема, изображенная на рис. 1.8, позволяет определить токи I 5, I 6. Для этого сначала вычислим напряжение U 56 на параллельном участке R 56. U 56 =I 4 R 56. (1.38) Токи I 5, I 6 определим по закону Ома: U 56 I 5 = ; R5 (1.39) U 56 I 6 =. R6 (1.40) Ток I 6 определим и по первому закону Кирхгофа: I6 = I4 I5. (1.41) Если известен ток до разветвления, то токи в параллельных ветвях можно определить и другим способом. Например, известен ток I 4, требуется определить токи I 5, I 6. Согласно первому закону Кирхгофа I 4 = I5 + I6. (1.4) Согласно второму закону Кирхгофа I 5 R 5 =I 6 R 6. (1.43) Из уравнений (1.4) и (1.43) R6 I5 = I 4. R5 + R6 (1.44) Для проверки правильности решения воспользуемся уравнением баланса мощностей, которое для исходной схемы (см. рис. 1.8) запишется следующим образом: E I = I ( r + R ) + I ( R + R + I R + I R + I R. (1.45) ) Метод эквивалентного генератора На практике при расчете сложных электрических цепей, содержащих много ветвей, часто бывает необходимо определить режим ра

11 боты только одной ветви. Решение этой задачи упрощается при использовании метода эквивалентного генератора, который еще называют методом активного двухполюсника. Пусть дана схема электрической цепи, содержащей определенное количество ветвей (рис. 1.10). Требуется 1 R 4 R E R провести исследование ветви с сопротивлением R. I R По отношению к данной ветви Рис Схема к расчету цепи остальную часть схемы можно рассматривать как источник ЭДС с неко- эквивалентного генератора постоянного тока методом торым эквивалентным внутренним сопротивлением R экв. Такой источник называют эквивалентным генератором, или активным двухполюсником. Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней относительно нее частью двумя выводами (полюсами). Различают активные и пассивные двухполюсники. Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. На электрической схеме активный двухполюсник условно обозначается буквой А, а пассивный буквой П. Схему, приведенную на рис. 1.10, разделим на две части: первая часть содержит только одну ветвь с сопротивлением R, ток в которой нужно определить; вторая часть содержит все остальные сопротивления и источник ЭДС. Первая часть является пассивным двухполюсником П. Вторая часть, представляющая собой эквивалентный генератор, является активным двухполюсником А. Схема замещения электрической цепи посредством активного и пассивного двухполюсников приведена на рис R экв E экв U R I A П Рис Схема замещения электрической цепи посредством активного и пассивного двухполюсников Ток в исследуемой ветви определится по закону Ома: 19

12 I E экв =. (1.46) Rэкв + R Для расчета Е экв используют режим холостого хода (рис. 1.1, а) E Еэкв = U хх = I =. (1.47) R + R + R R 4 E I U хх а б Рис Схемы активного двухполюсника: а) в режиме холостого хода для расчета Е экв ; б) при Е=0 для расчета R экв Для расчета R экв принимаем Е=0, тогда активный двухполюсник превращается в пассивный (рис. 1.1, б). Сопротивление этого двухполюсника относительно зажимов и будет эквивалентным сопротивлением ( R1 + R3 ) R R экв = + R4. (1.48) R1 + R + R3 Тогда Eэкв I =. (1.49) R + R экв Графический метод расчета Графический метод, как и метод эквивалентного генератора, предполагает использование схемы замещения посредством активного и пассивного двухполюсников. При этом вычисление тока в одном произвольно выбранном участке цепи выполняется с использованием графиков вольт-амперных характеристик активного и пассивного двухполюсников. Для расчета тока I в рассматриваемой схеме (см. рис. 1.10) сначала составляется схема замещения электрической цепи посредством активного и пассивного двухполюсников (см. рис. 1.11) так же, как при решении этой задачи методом эквивалентного генератора. Затем в режиме холостого хода активного двухполюсника (см. рис. 1.1, а) по формуле (1.47) определяется Е экв R 4

13 В режиме короткого замыкания активного двухполюсника (рис. 1.13) вычисляется ток короткого замыкания Еэкв кз R экв E R 4 I кз I =. (1.50) Рис Схема активного двухполюсника в режиме короткого замыкания По полученным двум точкам для режимов холостого хода и короткого замыкания (U=Е экв, I=0 и U=0, I=I кз ) строится вольт-амперная характеристика активного двухполюсника (рис. 1.14). U Е экв 1 I I I кз Рис Вольт-амперные характеристики: 1 активного двухполюсника; сопротивления R В этой же координатной системе строится вольт-амперная характеристика сопротивления R. Абсцисса точки пересечения двух вольт-амперных характеристик в масштабе соответствует току I (см. рис. 1.14) Примеры расчета электрической цепи с одним источником питания Имеется цепь постоянного тока (рис. 1.15). E R 4 I 5 Рис Исходная схема электрической цепи постоянного тока R 5 1

14 Дано: Е=100 В; =R 4 =5 Ом; = =R 5 =10 Ом. Определить ток I Решение методом свертывания схемы Решение наглядно представлено в табл Таблица 1.1 Решение методом свертывания схемы Вид преобразованной схемы Выполняемое действие в соответствии с приведенной схемой E E R R 45 =R 4 +R 5 =5+10=15 Ом R3 R = = = 6 Ом R E 345 R R = = = 3, 75 Ом R E R экв R экв = +345 =5+3,75=8,75 Ом E I 345 U =I 345 =11,43 3,75=4,86 Ом E R 4 R I 5 R 5 I U 4, 86 = = = 86 А R + R , 4 5

15 1.7.. Решение методом эквивалентного генератора Составим схему замещения электрической цепи (рис. 1.16), разделив исходную схему (см. рис. 1.15) на две части таким образом, чтобы первая часть содержала только сопротивление R 5, а вторая часть все остальные сопротивления и источник ЭДС. E экв R экв U R 5 I 5 A Рис Схема замещения электрической цепи посредством активного двухполюсника Схема для режима холостого хода активного двухполюсника представлена на рис. 1.17, а, где (см. рис. 1.15) RR R3 = = = 5Ом; R13 = R1 + R3 = = 10 Ом; R + R E 100 I = = = 10 А; Еэкв = U xx = I R3 = 10 5 = 50 В. 0 E 13 I R 4 U хх R 4 Рис Схема режимов холостого хода для двухполюсника: активного (а) и пассивного (б) Для расчета R экв принимаем Е экв =0, тогда активный двухполюсник превращается в пассивный (рис. 1.17, б). Сопротивление этого двухполюсника относительно зажимов и будет эквивалентным сопротивлением. R1 R3 5 5 R экв = + R4 = + 5 = 7, 5 Ом. R1 + R По закону Ома (см. рис. 1.15) б 3

16 I 5 = Eэкв 50 = =,86 А. R + R 7, экв Решение графическим методом Построим вольт-амперные характеристики активного и пассивного двухполюсников (рис. 1.16). Так как схема содержит линейные элементы, то эти характеристики будут прямолинейными. Вольтамперную характеристику активного двухполюсника удобно строить по точкам, соответствующим режимам холостого хода (U=U xx, I=0) и короткого замыкания (U=0, I=I кз ). Вольт-амперную характеристику пассивного двухполюсника (сопротивление R 5 =10 Ом) по точкам, одной из R экв которых является начало координат E экв I кз (0;0), а другой, например, точка с координатами (;0), т.е при токе, равном А, напряжение на сопротивлении R 5 A равно 0 В ( 10=0 В). При решении методом эквивалентного генератора найдено Е экв = U xx = 50 В. В режиме короткого замыкания (рис. 1.18) Еэкв 50 I кз = = = 6, 67 А. R 7, 5 Рис Схема режима короткого замыкания активного двухполюсника U, В U xx экв 1 I I кз 7 I, А Рис Вольт-амперные характеристики активного (1) и пассивного () двухполюсников 4

17 На рис представлены вольт-амперные характеристики: активного и пассивного двухполюсников. Находим абсциссу точки пересечения этих характеристик, которая в масштабе соответствует искомому току I 5 =, 85 А Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками питания Для расчета сложных электрических цепей применяются законы Кирхгофа. Согласно первому закону Кирхгофа для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. n I = 0, (1.51) k k= 1 т.е. сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. При составлении уравнений токи, направленные к узлу, берутся с одним знаком, а токи, направленные от узла, с противоположным. Например, для узла электрической цепи на рис. 1.0 уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, будет иметь вид I 3 I 4 I 5 I I 1 Рис Узел электрической цепи I 1 +I +I 4 =I 3 +I 5, (1.5) или I 1 +I I 3 +I 4 I 5 =0. (1.53) Согласно второму закону Кирхгофа для цепей постоянного тока в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС m I R n = E k k k= 1 k= 1 k, (1.54) где m число резистивных элементов; n число источников ЭДС в контуре. Со знаком «плюс» записываются ЭДС и токи, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода кон- 5

18 тура, а со знаком «минус» ЭДС и токи, направления которых противоположны выбранному направлению обхода. Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис. 1.1), содержащую 6 ветвей. В том случае, когда по условию задачи заданы величины всех ЭДС и сопротивлений, а требуется определить токи в ветвях, то получается задача с шестью неизвестными. Подобного рода задачи решаются с использованием R 4 I 4 законов Кирхгофа. При этом должно быть составлено столько уравнений, сколько c I 1 E 1 r 0 I 5 I 6 Рис Сложная электрическая цепь d I 3 I E r 0 неизвестных токов. Порядок расчета. 1. С целью упрощения последовательные и параллельные соединения сопротивлений, содержащиеся в цепи, заменяются эквивалентными.. Произвольно указываются направления токов во всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, в результате расчета такой ток оказывается отрицательным. 3. Составляются уравнения по первому закону Кирхгофа, количество которых равно (n 1), где n количество узлов в схеме. 4. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. При этом направления обхода контуров выбираются произвольно. Положительными считаются ЭДС и токи, направления которых совпадают с направлением обхода контуров. В качестве примера составим систему уравнений для схемы на рис Для выбранных направлений токов запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов,, c: I I I I I I 1 + I I 4 I 3 6 = 0; = 0; = 0. (1.55) 6

19 Приняв направление обхода контуров по часовой стрелке, составим уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров: E1 = I1R1 I3R3 + I5r01; E1 E = I1R1 I R + I5r01 + I 6r0; (1.56) 0 = I R1 I R I 4R4 Решая уравнения (1.55) и (1.56) совместно как систему, определим токи в ветвях. Легко заметить, что решение полученной системы уравнений без применения современных вычислительных средств является весьма трудоемкой операцией. Поэтому при анализе электрических цепей с несколькими источниками питания трехконтурную схему обычно преобразуют в двухконтурную заменой «треугольника» сопротивлений эквивалентной «звездой». При этом «треугольник» сопротивлений, входящий в состав сложной схемы, не должен содержать источников ЭДС. В качестве примера проведем преобразование «треугольника» c в схеме на рис. 1.1 в эквивалентную «звезду» (рис. 1.). Исходный «треугольник» образован сопротивлениями,, R 4. При преобразовании обязательно сохраняется условие эквивалентности схем, т.е. токи в проводах, подходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин. I 3 I 3 R o R o R co R 4 c I 6 I 5 I 6 Рис. 1.. Преобразование «треугольника» сопротивлений I 5 c в эквивалентную «звезду» 7

20 При преобразовании «треугольника» в «звезду» используются расчетные формулы: E 1 r 01 I 5 Рис Преобразованная схема после замены «треугольника» сопротивлений эквивалентной «звездой» I 3 I 6 E r 0 R1 R Ro = ; R 1 + R + R4 R1 R4 Ro = ; R1 + R + R4 R R4 Rco =. R1 + R + R4 (1.57) В результате преобразования исходная схема (см. рис. 1.1) упрощается (рис. 1.3). В преобразованной схеме только три ветви и соответственно три тока I 3, I 5, I 6. Для расчета этих токов достаточно иметь систему из трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа: I5 + I3 I6 = 0; E1 = I5( Ro + r01) I3( R3 + Ro ); E = ( + ) + ( + ). I3 R3 Ro I6 Rco r0 (1.58) При составлении уравнений направление токов и обхода контуров выбирается так же, как в трехконтурной схеме. Решив систему уравнений (1.58), определим токи I 3, I 5, I 6. Подстановкой полученных значений токов в уравнения, составленные для трехконтурной o схемы, определим остальные R o токи: I 1, I, I 4. R o R co I 6 I3 Часто для расчета I5 сложных электрических цепей применяется метод c контурных токов. При решении этим методом количество уравнений равно количеству ячеек. Ячейкой называется такой контур, внутри которого отсутствуют ветви. В рассматриваемой схеме (рис. 1.4) таких контуров-ячеек три. 8

21 Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом. 1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся направлением контурных токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (см. рис. 1.4).. Составляем для каждого контура-ячейки уравнение по второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке. Уравнение для первого контура E1 = Iк1 ( R1 + R3 + r01) Iк R3 Iк3 R1 ; (1.59) уравнение для второго контура E = I к ( R + R3 + r0 ) I к1 R3 I к3 R; (1.60) уравнение для третьего контура 0 = I ( R + R + R I R I R. (1.61) к3 3 4 ) к1 1 к R 4 I 4 I к3 c I 1 I E 1 r 0 I к1 I 3 I к E r 0 I 5 I 6 d Рис Схема к расчету электрической цепи методом контурных токов 3. Решая уравнения (1.59), (1.60), (1.61) совместно как систему, определяем контурные токи. Если контурный ток оказался отрицательным, значит, его направление противоположно выбранному на схеме. 4. Токи во внутренних ветвях схемы I 1, I, I 3 определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Если контурные токи в ветви совпадают по направлению, берется их сумма; если не совпадают, берется их разность. 5. Токи во внешних ветвях схемы I 4, I 5, I 6 равны соответствующим контурным токам. 9

22 1.9. Пример расчета сложной электрической цепи методом контурных токов Имеется цепь постоянного тока, схема которой изображена на рис Дано: Е 1 =100 В; Е =10 В; r 01 =r 0 =0,5 Ом; =5 Ом; =10 Ом; = Ом; R 4 =10 Ом. Определить токи в ветвях. Решение. Используя уравнения (1.59), (1.60), (1.61), получаем 100 = 7,5I к1 I к 5I к3; 10 = I к1 + 1,5I к 10I к3; 0 = 5I к1 I к I к3 Выразим I к3 через I к1 и I к : 5 10 I к3 = I к1 + I к 5 5 и произведем соответствующие подстановки: 100 = 6,5I к1 4I к; 10 = 4I к1 + 8,5I к. Совместное решение полученных уравнений дает: I к1 = 5, А; I к = 33,5 А; I к3 = 14,4 А. Определяем токи в ветвях: I 1 =I к1 I к3 = 5,+14,4=9, А; I =I к3 I к = 14,4+33,5=19,1 А; I 3 =I к1 I к = 5,+33,5=8,3 А; I 4 = I к3 =14,4 А; I 5 = I к1 =5, А; I 6 = I к =33,5 А. Контрольные вопросы 1. Определить эквивалентное сопротивление R Э, если =1 Ом; = =4 Ом. 1) 9 Ом; ) 3 Ом; U R 3) 4 Ом; 4) 5 Ом. 30

23 . Определить эквивалентное сопротивление R Э, если =1 Ом; =8 Ом; =4 Ом; R 4 =4 Ом. 1) 1 Ом; ) 6 Ом; 3) 10 Ом; 4) 8 Ом. R 4 3. Определить эквивалентное сопротивление R Э, если =4 Ом; =4 Ом; =6 Ом; R 4 =6 Ом. 1) 10 Ом; ) 5 Ом; 3) 1 Ом; 4) 8 Ом. R 4 4. Определить эквивалентное сопротивление R Э, если =6 Ом; =4 Ом; =5 Ом, R 4 =5 Ом. 1) 10 Ом; ) 15 Ом; 3) 5 Ом; 4) 9 Ом. R 4 5. На рисунке показана часть сложной цепи. Задано: I 1 =3 А; I =,4 А; Е 1 =70 В; Е =0 В; =8 Ом; =5 Ом. Найти напряжение U аб. 1) U аб = 6 В; ) U аб = 86 В; 3) U аб = 14 В; 4) U аб = 86 В; 5) U аб = 14 В. I 1 E 1 E I а U аб б 31

24 6. Как изменится ток в цепи при замыкании ключа К (напряжение U=const)? K 1) увеличится; ) уменьшится; U 3) не изменится? 7. Как включают в электрическую цепь амперметр, вольтметр: 1) амперметр последовательно с нагрузкой, вольтметр параллельно нагрузке; ) амперметр и вольтметр последовательно с нагрузкой; 3) амперметр и вольтметр параллельно нагрузке? 8. Как изменятся напряжения на сопротивлениях, и при увеличении (U=const): U 1) напряжения на и увеличатся, а напряжение на уменьшится; ) напряжения на и уменьшатся, а напряжение на увеличится; 3) напряжения на и не изменятся, а на увеличится; 4) напряжения на и не изменятся, а напряжение на уменьшится? 9. Определить, какие из трех источников ЭДС генерируют энергию, а какие потребляют, если =6 Ом; =8 Ом; =3 Ом; Е 1 =10 В; Е =30 В; Е 3 =30 В. E 1 E E 3 1) Е 1 генер., Е и Е 3 потр.; ) Е генер., Е 1 и Е 3 потр.; 3) Е и Е 3 генер., Е 1 потр.; 4) Е 3 генер., Е 1 и Е потр.; 5) Е 1 и Е 3 генер., Е потр. 3

25 10. Как изменятся напряжения U 1 и U на зажимах источников при уменьшении сопротивления R: 1) U 1 увеличится; U уменьшится; ) U 1, U увеличатся; 3) U 1 уменьшится; U увеличится; 4) U 1, U уменьшатся? E 1 R E r U 1 U 01 r Какая из приведенных систем уравнений дает возможность найти неизвестные токи в приведенной схеме? I1 I I3 = 0; 1) E1 = I1R1 + I3R3; E = I R I3R3. I1 = I + I3 = 0; ) E1 = I1R1 + I3R3; I + I3 + I1 = 0. E1 = I1R1 + I3R3; 3) E = I R + I3R3; E1 E = I1R1 + I R. I 1 E 1 I 1 I 3 I E 1. Сколько узловых и контурных уравнений по методам законов Кирхгофа необходимо составить для определения неизвестных токов в этой схеме: d E 1) 4 узловых и 4 контурных; ) 3 узловых и 3 контурных; 3) 4 узловых и контурных? E 1 R 4 c R Укажите положение движка реостата, соответствующее максимальной нагрузке. 1) 1; ) ; 3) 3. U

26 14. На рисунке показана часть сложной цепи. Определите напряжение U аб. а I 1 E 1 1) U аб =Е 1 +Е I 1 +I ;. I U аб E б ) U аб = Е 1 +Е I 1 +I ; 3) U аб =I 1 I Е 1 Е ; 4) U аб =Е 1 +Е I 1 I ; 5) U аб = I 1 +I Е 1 Е. 15. Какое из приведенных уравнений не соответствует рисунку: 1) I 1 +I =I 3 +I 4 ; I 1 I I 3 I 4 ) I 1 +I I 3 I 4 =0; 3) I 1 +I +I 3 +I 4 =0; 4) I 3 +I 4 I 1 I =0? 16. Как изменится ток потребителя R Н при коротком замыкании на линии: 1) резко увеличится; U R Н ) станет равным нулю; 3) уменьшится? 17. Нагревательный прибор с сопротивлением R=44 Ом включен в сеть с напряжением U=0 В. Найти ток I и мощность Р прибора. 1) А, 40 Вт; ) 5А, 600 Вт; 3) 5А, 1100 Вт; 4) 10 А, 600 Вт. 18. Какое сопротивление должна иметь спираль нагревательного элемента, если его потребляемая мощность Р=1 квт, а напряжение сети U=0 В. 1) 0, Ом; ) 48,4 Ом; 3) 100 Ом. 19. Если R=30 Ом, сопротивление участка цепи R составит а R R R 1) 10 Ом; ) 30 Ом; 3) 90 Ом; 4) 45 Ом. 34