Угол между векторами и скалярное произведение векторов
Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме "Векторы".
Содержание данной страницы электронного справочника для школьников:
- – тема "Свойства векторов" рассматривается на примере решения задачи 86;
- – онлайн задания, как находить угол между векторами, в том числе в координатной форме, как определяется скалярное произведение векторов, скалярный квадрат, представлены в контрольных работах 87 - 107 учебника.
Свойства векторов
1) Вектор коллинеарный с вектором
5) Дано: система координат
модуль вектора = 5
Пусть и - данные векторы.
1) Отложим от точки O векторы = и =
2) Если ↑↓ - противоположно направленные векторы, то лучи OA и OB образуют угол AOB
3) Если ↑↑ - сонаправленные векторы, то угол между векторами и равен 0°.
Угол между двумя векторами и обозначается так:
Определение:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Задача 86.
Найти: углы между векторами BAC, DAB = ?
a) Т.к. AC - диагональ квадрата, то она делит угол A пополам. Тогда угол между векторами = 45°
б) Т.к. ABCD - квадрат, то градусная мера угла между векторами = = 90°, т.е. прямой угол.
Скалярное произведение векторов
Задача 87.
BD = AB; AC ∩ BD = 0
Вычислите: угол, образованный векторами
а) По определению ромба ΔABD - равносторонний (AB = AD = BD).
Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами = 60°
б) Т.к. векторы ↑↑ сонаправленные, то угол между векторами = 0°
в) Т.к. векторы ↑↓ - противоположно направленные, то угол между векторами = 180°
Определение:
Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.
Обозначение: или
= *cos (a,b) (1)
Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:
1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.
скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.
2) Если ↑↑ - сонаправленные векторы, то угол между векторами равен нулю градусов, т.е. =0° =
3) Если - перпендикулярные векторы и =90° Cos 90° = 0, то = 0
Верно и обратное, т.е. если = 0
Вывод: = 0
Задача 88.
Найти: скалярное произведение векторов
Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем
Скалярный квадрат
Задача 89.
Найти: скалярное произведение векторов 1) 2)
Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Задача 90.
Найти: скалярное произведение векторов
Задача 91.
Найти: скалярное произведение векторов
2) т.к. векторы перпендикулярны BD AC = 0
Ответ:1) - ; 2) 0 ; 3)
Задача 92.
Найти: величину угла между векторами
1) Рассмотрим ΔABC - равнобедренный, т.к. AB=BD.
Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD - равносторонний.
Тогда DAB = BDA = 60°
По свойству ромба следует, что ADC = 120°
Тогда угол между векторами =120°
2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:
BA || CD и ↑↑ , тогда векторы параллельны || , поэтому векторы равны = .
Рассмотрим треугольник ΔCBD - равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.
По определению ромба ΔCBD - равносторонний.
Значит, угол BDC = 60°
По свойству ромба угол ADC = 120°.
Тогда угол между векторами =120°.
Скалярное произведение векторов в координатах
Теорема:
Если два вектора имеют координаты ; < x2; y2>, то скалярным произведением двух векторов (формула 2) называется произведение их координат:
(2)
1 случай.
Если какой-нибудь вектор - нулевой, то равенство (2) выполняется очевидно.
2 случай.
Если векторы и - неколлинеарны.
Отложим векторы от произвольной точки O.
Рассмотрим треугольник ΔOBA.
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab • Cos α, получаем равенство
AB 2 = OB 2 + OA 2 - 2 • OB • OA • Cos α (3)
Учитывая значения (*) = ; = ; = ; а также, что OA = | |; OB = | | ; AB = | |, подставив значения (*) в равенство (3), получаем
| | 2 = | | 2 + | | 2 - 2 (4)
Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем
Т.к. = , то, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками
Тогда из равенства (4) следует
1) Если векторы перпендикулярны, т.е.
2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)
Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:
Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.
Скалярное векторное произведение
Задача 93.
Если < ; -1>; , то = 0,5 + (-3) = -2,5
Задача 94.
Если ; и векторы перпендикулярны , тогда = 3x - 2 0 = 3x - 2 2 = 3x x =
Задача 95.
Найти: косинус угла между векторами Cos A = ?
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов
Cos A = , получаем
Длина вектора
Задача 96.
угол между векторами равен = =60° ,
длины векторов | | = 1, | | = | | = 2
Найти: произведение векторов ( ) = ?
Задача 97.
длина векторов | |=| |=1
Найти: произведение векторов = ?
= ( )•( ) = 3 2 + 12 - 2 - 8 2 =
= 3 2 + 10 - 8 2 = 3| | 2 + 0 - 8| | 2 = -5.
Задача 98.
Найти: произведение векторов = ?
Задача 99.
Найти: произведение векторов = ?
Задача 100.
Найти: косинус угла векторов
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов
Cos B = , получаем
Ответ: Cos B =0, Cos C =
Задача 101.
, где i и j – координатные векторы
Найти: длину вектора | | = ?
Найдем координаты вектора .
Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат | | = , тогда получаем
Задача 102.
Доказать: диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны
Т.к. ABCD - ромб - параллелограмм, то векторы параллелограмма ,
= ( + ) ( - ) = - 2 + 2 - = 2 - 2 = =| | 2 -| | 2 = 0. Поэтому угол между векторами = 90°. Значит, диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны AC BD.
Задача 103.
треугольник ΔABC - равнобедренный
1) 4AM 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB • AC • Cos A
1) Т.к. точка M - середина BC, тогда
= AB 2 + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB • AC • Cos A
Получаем 4AM 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB • AC • Cos A
2) По формуле, полученной выше, следует
4CH 2 = AC 2 + BC 2 + 2AC • BC • Cos C
Т.к. треугольник ΔABC - равнобедренный, тогда AB = BC, A = C Cos A = Cos C
Получим, что 4CH 2 = AC 2 + BC 2 (=AB 2 ) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)
4CH 2 = AC 2 + AB 2 + 2AC • AB • Cos A
Задача 104.
ABCD - выпуклый четырехугольник
BD = d1 и AC = d2 - диагонали
d1 ∩ d2 = O - точка пересечения диагоналей
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними