Прямая линия. Уравнение прямой.

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений

Уравнение этой прямой в отрезках:

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

Уравнение прямой:

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны,

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х0 , у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно