Урок-семинар по теме: "Решение уравнений, содержащих целую часть числа"

Метод: проблемный и частично поисковый.

• Кодоскоп.
• Плёнки с графиками функций ;
• “Информация к размышлению”- подборка задач по теме “целая и дробная части числа” для учащихся 8-11-х классов с указанием литературы.

Предварительная подготовка к уроку-семинару.

Класс разбивается на 4 группы (по числу способов решения уравнения), для каждой группы указывается способ решения и литература, где этот способ можно найти. Затем для каждой группы производится консультация, на которой проверяется готовность каждой группы и выясняются все возникающие вопросы. Каждая группа выдвигает своего докладчика, который будет на уроке решать задачу указанным способом.

1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
3. Повторение.
4. Проверка домашнего задания.
5. Семинар.
6. Итог урока.

В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для учеников являются непривычными и сложными.

Впервые знакомство с целой и дробной частью числа встречается в 8-м классе, когда вводится определение целой и дробной части числа и строятся графики y=[x]; y=;

Но в учебниках нет методов решения уравнений, содержащих целую часть числа.

Поэтому сегодня мы повторим то, что знаем и рассмотрим различные способы решения ещё одного вида уравнений, содержащих целую часть числа.

Вызываю 2 человека к доске решать домашнее задание.

Устно с помощью кодоскопа:

Определение целой части числа. Найти [25,8]; [0.75]; [-1]; [-2,74]; [-3,8].

Свойства: если , то [x]=x; если то [x]<x, тогда [x] x<[x]+1;

Вычислить:

Ответы: а) 8; б) 7; в) -9; г) -15;

Решить уравнение:

Ответы: а) нет решения; б) [7;8); в) 3; г) [-8;-7).

Отвечает 1-й ученик.

Решить уравнение методом замены.

Решение: обозначим x-1=k, где k – целое число, тогда x=k+1; и уравнение примет вид . Из определения целой части следует, что

Решим систему неравенств:

а так как , то k = 2 или k = 3,

Получим совокупность 2 - х уравнений:

откуда x = 3, x = 4;

Ребята задают отвечающему вопросы по теме урока.

Отвечает 2-й ученик.

На плёнке 2 графика

На доске записи:

0 f < 1, -2 x<0, [f] = 0;

1 f < 2, 0 x<2, [f] = 1;

2 f < 3, 2 x<4, [f] = 2;

3 f < 4, 4 x<6, [f] = 3;

4 f < 5, 6 x<8, [f] = 4;

2) строим по двум точкам.

3)графики пересекутся в двух точках с абсциссами 3 и 4.

Вопросы класса.

Семинар: “Решение уравнения различными способами”.

1. Выступает представитель от первой группы.

Задание. Решить уравнение методом замены.

Обозначим [x-1]=n и =n, где , тогда получим систему неравенств:

Задача сводится к нахождению таких целых значений n, при которых существует общая часть двух полученных промежутков.

Решение отсутствует, если:

а) промежуток (1) левее промежутка (2), т.е. при ;

б) промежуток (2) левее промежутка (1), т.е. при

Итак, решение существует при 1<n<4, а так как n – целое число, то n=2 или n=3.

Объединяя решения этих систем, получим, что

Выяснить вопросы и дать ответы на них.

2. Выступает представитель от 2-й группы.

Решить уравнение (записывает на доске, ученики фиксируют в тетрадях).

Целые части чисел равны, если модуль разности этих чисел меньше единицы.

Тогда получим систему двух неравенств:

Последняя система неравенств равносильна совокупности двух систем:

Учащиеся задают вопросы отвечающему, выясняют правильность оформления решения.

2) почему из системы (1) следует система (2)?

Вопрос: 1)как доказать, что если целые части равны, то модуль разности чисел меньше 1.

Это значит, что |x-y|<1

Исходя из определения целой части

3. Выступает ученик от 3-й группы.

Решить уравнение методом исключения.

а) Пусть . Найдём такие значения x, при которых между этими числами найдётся ещё какое-либо целое число k, такое, что .

Решим систему неравенств:

получим откуда 2k-2<k+1;

При k=2 (см. 1-й способ)

Итак, промежуток [2;3) не входит в решение данного уравнения.

б) Пусть Найдём такие значения х, при которых между этими числами найдётся какое-либо число m, такое, что

Решим систему неравенств:

При m=4 значит, промежуток [5;6) не входит в решение уравнения.

в) Получим, что данному уравнению из интервала (2;6) не удовлетворяют числа 2<x<3 и

Вопросы отвечающему: почему промежутки [2;3) и [5;6) не входят в решение уравнения, ведь и

4. Выступает представитель от 4-й группы.

Решить уравнение графическим методом, используя кодоскоп.

На плёнке графики

1) На доске для построения графика x-1=t;

2) график y=[x-1] берётся из домашнего задания;

3)обе плёнки совмещаем на экране.

Графики и совпадают при 3 x<4 и при 4 x<5

Задание. Назвать алгоритм решения уравнения графическим способом.

• чёткость и логичность изложения материала;
• привлечение технических средств;
• культура речи;
• доступность изложения материала;
• свободное владение материалом.
• Показать, что лучше владеть несколькими методами решения уравнения, чем одним.
• Предложить в качестве домашнего задания решить всеми способами уравнение: Ответ:

Вывесить в кабинете для учащихся 8-11 классов в качестве сменного стенда “Информация к размышлению” подборку различных задач по теме из журналов “Математика в школе”.