( 2008 г ., первый тур олимпиады для 11-х классов)
Задание 1 "С какой скоростью движется вторая машина относительно первой (4 балла)".
Две машины приближаются к перекрестку, двигаясь под прямым углом друг к другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч . С какой скоростью движется вторая машина относительно первой?
Решение . Скорости, заданные в условии, измерены относительно системы отсчета, связанной с землей. Уточним обозначение этих скоростей:
Скорость второй машины относительно первой — это скорость второй машины измеренная в системе отсчета, связанной с первой машиной (например, водителем первой машины). Если первая машина двигается относительно земли со скоростью , то в системе отсчета первой машины земля двигается с такой же по величине скоростью, но в обратном направлении:
Для водителя первой машины скорость второй машины будет складываться из ее скорости относительно земли и скорости земли в системе отсчета первой машины:
Величина относительной скорости второй машины v 21 равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного скоростями машин относительно земли. По теореме Пифагора находим:
Заметим, если относительная скорость окажется направленной по линии, соединяющей машины, то продолжая двигаться с такими скоростями, они неминуемо столкнутся!
Задание 2 "Вычислите среднюю скорость движения человека (8 баллов)"
Вычислите среднюю скорость движения человека, если первую треть пути он шел со скоростью 1,5 м/с, а оставшуюся часть пути со скоростью 1,0 м/ с .
Решение . Согласно общему определению средней скорости:
где S — весь пройденный путь, а t — все время движения.
Времена t 1 и t 2 прохождения первой трети пути и остальных двух третей равны, соответственно
Учитывая, что t = t 1 + t 2 находим
Ответ : 1,125 м/ с .
Задание 3 "Найдите ускорение и путь автомобиля (8 баллов)"
Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч , разгоняется в течение десяти секунд до 108 км/ч и затем за полминуты сбрасывает скорость до нуля. Считая движение при разгоне и торможении равнопеременным, найдите ускорение и путь для каждого из промежутков времени.
Решение . Применяя формулу скорости для равноускоренного движения в течение времени t 1, получим
Находим путь, пройденный на участке разгона:
Скорость при торможении машины меняется по формуле
убывая за время t 2 до v = 0. Подставляя нуль в правую часть уравнения (1), и выражая величину ускорения, получаем
Отметим, что в данном случае проекция ускорения на ось O X отрицательна: a 2 x = — a 2 = –1 м/с 2 .
Соответствующий путь составляет
Ответ : a 1 = 2 м/с 2 , S 1 = 200 м, a 2 = 1 м/с 2 ( a 2 x = –1 м/с 2 ), S 2 = 450 м.
Задание 4 "Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом к горизонту (8 баллов)"
Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом 30 SYMBOL 176 \f "Symbol" к горизонту со скоростью 2 0 м/с. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
SYMBOL 97 \f "Symbol" = 30 SYMBOL 176 \f "Symbol"
Решение . Проанализируем, как изменяется со временем проекция скорости на ось OY . C уществует такой момент времени t 1 = v 0 y / g , при котором проекция vy обращается в нуль. До этого момента времени vy положительна, то есть тело движется вверх. После момента времени проекция vy становится отрицательной, то есть тело движется вниз.
Очевидно, что в этот момент времени достигается максимальная высота hmax .:
Используя численные данные, находим:
Задание 5 "Модель: Измерьте скорость тележки (8 баллов)"
Задание: Измерьте с помощью оптических датчиков скорость тележки. Занесите результаты в отчёт (меню в верхней части программы) и отошлите отчёт на сервер. Стойки с датчиками расположите так, чтобы они фиксировали моменты прохождения тележки. Позицию датчиков можно менять мышью или с помощью пункта ввода. Конечный результат округляйте до сотых. Пример округления: 0,605 можно округлять до 0,60 или до 0,61.
Рис.1 Начальное состояние системы
Для измерения скорости следует установить стойки с датчиками, например, на позиции с координатами x 1 =0.2 м и x 2 =0.8 м и нажать кнопку “Пуск”. Тележка доедет до противоположной стенки и остановится, а на датчиках появятся показания (рис.2).
Рис.2 Конечное состояние системы
Скорость находим как отношение пути между x 2 и x 1 к затраченному времени t 2- t 1:
v =( x 2- x 1) /( t 2- t 1)
При этом пусть мы сначала ошибемся и напишем v = (0.8-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.6/2.222 м/с = 0.270027 … м/ с
(вместо x 2=0.9 м написали x 2=0.8 м). Округляем до сотых: v =0.27 м/ с
Открываем пункт меню “Отчёт…” в верхней части программы, и в появившемся окне вводим это значение (рис.3):
Рис. 3 Отсылка отчёта
Нажимаем кнопку “Отправить результаты на сервер” и получаем отзыв с сервера с информацией о неправильном решении:
Рис.4 Результат проверки со стороны сервера
При нажатии кнопки “Закрыть” любая информация в окне отчета сохраняется и показывается вновь при открытии отчета. При нажатии кнопки “Очистить” восстанавливается первоначальное состояние окна отчета с пустыми пунктами ввода.
Мы можем нажать кнопку “Очистить”, затем кнопку “Закрыть”, проверить правильность наших действий и вычислений.
Например, заново проделать измерения при тех же или других расстояниях между датчиками. Обнаруживаем ошибку и исправляем ее :
v =( x 2- x 1) /( t 2- t 1) = (0.9-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.7/2.222 м/с = 0.360036 … м/с
Округляем до сотых: v =0.36 м/ с .
Открываем отчет, вводим ответ, отсылаем отчет на сервер и получаем:
Рис.5 Результат проверки нового результата
Итоговый балл за выполнение задания получился 7 из 8 возможных, так как имелась одна дополнительная попытка отсылки результатов на сервер.
Задание 6 "Тест: Кинематика (16 вопросов, 25 баллов)"
Тест будет разбираться в отдельном документе.
Задание 7 "Модель: Измерьте среднюю и мгновенную скорость тележки (12 баллов)"
Задание: По наклонному рельсу из точки с координатой х=0 из состояния покоя начинает равноускоренно двигаться тележка. Определите время движения тележки до её удара о стенку, а также её среднюю и конечную скорость на отрезке от x=0 до x=0.5
Время определите с точностью до тысячных, а остальные величины до сотых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Оптические датчики срабатывают при пересечении светового луча датчика флажком тележки. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши или задавая значения их координат х 1 и х2 при помощи клавиатуры.
На рис.6 показано начальное состояние системы.
Рис.6 Начальное состояние системы
Первую стойку передвигаем в позицию x 1=0.5 м, вторую (с помощью пункта ввода для x 2) - в позицию x 2=0.99999 м (если x 2=1 м тележка не пересекает луч, поэтому ставим стойку очень близко к x =1 м). Нажимаем кнопку “Пуск” и получаем, например, t 1=1.443 с, t 2=2.041 с (рис.7).
Рис.7 Конечное состояние системы
Полное время движения равно t 2. Средняя скорость v ср движения на отрезке от x =0 м до x =0.5 м равна x 1/ t 1. Конечная скорость v 1 движения на этом отрезке в два раза больше, так как при равноускоренном движении v ср = ( v 0+ v 1)/2, а v 0=0. То есть v 1 проще вычислить чем измерить с достаточной точностью.