Занятие 7 Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y= kx + b.

Общее уравнение прямой. Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. y-y1=k(x-х1).

Уравнение прямой в отрезках.

Основные задачи на прямую

1. Составить уравнение произвольной прямой, проходящей через точку M1(x1;y1). Пусть уравнение искомой прямой

Ах + Ву + С = 0. (1)

Значит, M1 лежит на этой прямой. Поэтому

Ax1+By1 + C = 0. (2)

Вычитая из (1) почленно (2), получаем

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (3)

Очевидно, при любых А и В уравнению (3) удовлетворяют координаты точки M1.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки M1(x1; y1) и M2(x2; у2). Уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1;y1), имеет вид (3). Так как прямая проходит и через точку М2, то

А(х2-х1)+В(у2-у1) = 0, откуда

3. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим на плоскости две прямые

l1(y = k1x + b1) и l2(y = k2x +b2) с углами наклона к оси Ох соответственно φ1 и φ2 (рис. 12).

4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения:

1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);

2) параллельны и не совпадают;

Если прямые l1 и l2 параллельны, то φ1 = φ2 и, следовательно, k1 = k2, т.е. параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Пусть φ= π / 2 , т.е. l1 и l2 взаимно перпендикулярны. В этом случае k 2= - 1 / k 1

т. е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Задания для работы в аудитории

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(0;b) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(0;2), k=1; б) М(0;0), k=-1.

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М (х0;у0) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(1;1), k=2 ; б) М(-2;3), k=-4.

Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок а) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=π/4; б) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=3π/4.

Составьте уравнение прямой, проходящей через а) начало координат и точку А(-2;3); б) начало координат и точку В(2;-3).

Дано общее уравнение прямой -12х-5у-65=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

Дано общее уравнение прямой 2х-3у-12=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

Постройте прямые : а) ; б) ; в) ; г) .

Прямая проходит через точки А и В: а) А(0;2), В(5;0); б) А(-3;0), В(0;-2); в) А(0;1), В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.

Параллельны ли прямые : а) 2х+3у-7=0 и 2х+3у+9=0; б) у=2х+3 и 4у-8х=1; в) х=3 и 10у+5=0?

Перпендикулярны ли прямые : а) 3х-5у+7=0 и 10х+6у-3=0; б) 2х-3у+11=0 и х+2у-1=0?

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (2;3) и: а) параллельно прямой у=2х+5; б) перпендикулярно прямой у=2х+5.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-1;2) и: а) параллельно прямой у=4х-7; б) перпендикулярно прямой у=4х-7.

Найдите координаты точки пересечения прямой 4х-3у-10=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.

Найдите точку пересечения двух прямых: а) 2х-4=0 и х-3у+1=0; б) 7х-9у+15=0 и 19х+12у-20=0.

Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон 2х+4у+1=0, х-у+2=0 и 3х+4у-12=0.

Даны уравнения сторон треугольника 2х-5у=3, х+3у=7 и 3х-2у+1=0. Напишите уравнение его высот.

Найдите угол между прямыми : а) у=- 2/5 х + 3 и у= 3/7 х +2/7; б) 6х+8у+5=0 и 2х-4у-3=0.

Под каким углом пересекаются прямые : а) х-2у-2=0 и у= ; б) 3х+у-2=0 и х-3у+1=0; в) 4х-6у+7=0 и 20х-30у-11=0?

Найдите расстояния от точек О(0;0), А(1;2), С(-2;1), К(-3;0) до прямой 3х-4у+10=0.

Даны уравнения сторон треугольника х-3у+5=0, 3х+4у+2=0 и 5х-2у-14=0. Найдите длины высот, опущенных на первые две указанных прямых, определяющих стороны треугольника.

Через точку пересечения двух прямых: 2х-у-3=0 и х-3у-4=0 проведена прямая, параллельная прямой х+у=1. Напишите уравнение проведенной прямой.

Через точку пересечения двух прямых: х+2у+2=0 и 3х+4у+9=0 проведен перпендикуляр к прямой 2х+3у-6=0. Напишите уравнение этого перпендикуляра.

Даны 2 стороны параллелограмма х-у+1=0 и 3х+2у-12=9 и точка К(6;4) – точка пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.

Дано общее уравнение прямой 2х-3у + 6=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

Определите длину отрезка прямой а) , заключенного между точками пересечения прямой с осями координат.

Домашнее задание № 7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок b=7.

Составьте уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника с вершинами А(1;3), В(0;2), С(-1;1). Постройте прямые.

Прямая проходит через точки А(0;1) и В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.

Определите площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой .

Параллельны ли прямые : а) 3х-6у+4=0 и 5х-10у-1=0; б) у=х+1 и 2у-х=1; в) 3х-5у=0 и 6х+10у+5=0?

Перпендикулярны ли прямые : а) 3х-у-3=0 и х+3у-17=0; б) 2х+5у-6=0 и 5х+2у-3=0?

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(-3;2) и а) параллельно прямой 7х+4у-11 =0; б) перпендикулярно прямой 7х+4у-11 =0.

Найдите координаты точки пересечения прямой 3х-4у+12=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.

Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон х-3у+11=0, 5х+2у-13=0 и 9х+7у-3=0.

Даны координаты вершин треугольника А(0;1), В(6;5) и С(12;-1). Напишите уравнения всех высот и медиан.

Под каким углом пересекаются прямые : а) у=3х+5 и у=-2х+7; б) 3х+у-7=0 и 2х-у+1=0?

Найдите расстояния от точек О(0;0), А(-1;1), С(2;-1) до прямой х-2у+1=0.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎