Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений

Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 . Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2, x3, x4, значит, неизвестные x2, x3, x4 – зависимые, а x1, x5 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения: 1) пусть x1 = x5 = 0, тогда x2 = 1, x3 = -3, x4 = 3; 2) положим x1 = 1, x5 = -1, тогда x2 = 4, x3 = -7, x4 = 7. Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга: Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение: -x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5. x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1: Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления. Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3) Решение:doc:doc:xls Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение. Решение Ответ:x3 = - 1 + x4 + x5; x2 = 1 - x4; x1 = 2 + x4 - 3x5

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы. Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы: 111402034230123-33-21x1x2x3x4x5 Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 0-140-36-134230123-33-21 Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой: 0-140-36-10-113-36-123-33-21 Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 00270000-113-36-123-33-21 Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. 00270000-113-13-623-31-32x1x2x3 x4x5 Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:27x3 = - x2 + 13x3 = - 1 + 3x4 - 6x52x1 + 3x2 - 3x3 = 1 - 3x4 + 2x5Методом исключения неизвестных находим:Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:x3 = 0x2 = 1 - 3x4 + 6x5x1 = - 1 + 3x4 - 8x5Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений. Ответ:x2 = 2 - 1.67x3 + 0.67x4x1 = 5 - 3.67x3 + 0.67x4Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса. Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера - Капелли. Согласно теореме Кронекера - Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы. Ответ: система не совместна. Решение