Касательная. Задачи на касательную

Шмидт, Н. М. Касательная. Задачи на касательную / Н. М. Шмидт. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2012. — № 5 (40). — С. 541-545. — URL: https://moluch.ru/archive/40/4868/ (дата обращения: 21.02.2022).

Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач (в том числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр. 1. Касательной к графику функции у = f ( x ) называется предельное положение секущей MN при (рис. 1).

Касательная к кривой может иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и другое определение касательной к кривой.

Опр. 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) называется прямая, проходящая через точку A 0 , угловой коэффициент которой равен значению производной функции у = f ( x ) в точке с абсциссой x 0 .

Уравнение касательной к кривой у = f ( x ) в точке с абсциссой х 0 имеет вид: .

Между понятием касательной и понятие производной имеется тесная связь. Геометрический смысл производной можно выразить так: если функция у = f ( x ) в точке х 0 имеет производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к графику функции , причем ее угловой коэффициент равен . Вывод: если в точке х 0 есть производная функции , то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции и наоборот; если в точке х 0 нет производной функции , то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции и наоборот.

Укажем случаи, когда функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка возврата, узловая точка(рис. 2 а, б, в). Особо отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную производную (рис. 2 г).

угловая точка точка возврата узловая точка

Рассмотрим решение некоторых задач.

Находим общие точки графиков, т. е. решаем уравнение f ( x ) = kx + b , а затем для каждого из его решений вычисляем . В тех случаях, когда = k , имеет место касание, в других — пересечение.

Решение. Записав условие касания получим

Решение. Пусть . Из условия следует, что должны выполняться равенство , где - возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Решение. . Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению . Имеем:

Таким образом, . Значит, - абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания преобразуем выражение, задающее функцию:

Решение. Так как касательная должна быть параллельна прямой , то ее угловой коэффициент, равный у'(х 0 ), где х 0 — абсцисса точки касания, совпадает с угловым коэффициентом данной прямой, т. е. . Отсюда или . Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Решение. Найдем критические точки заданной функции:

Так как, производная в точках и равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими абсциссами, параллельны оси . Найдем значения функций в этих точках.

Итак, расстояние d между касательными, параллельными оси , равно

С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о нахождении кратчайшего расстояния между графиком некоторой функции f ( x ) и прямой .

Решение. Убедившись, что графики не имеют общих точек (уравнение не имеет решений), запишем уравнение такой касательной к графику функции , которая параллельна прямой Уравнение касательной имеет вид касание происходит в точке Прямая у = х – 2 и парабола у = х 2 расположены по разные стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от точки М до прямой .

Довольно сложной является задача составления уравнения всех касательных к графику функции у = f ( x ), проходящих через заданную точку М(х 0 ; у 0 ), вообще говоря, не лежащую на графике. Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем уравнение касательной к графику функции у = f ( x ) в произвольной точке графика с абсциссой t :

Указание. Уравнение касательной в точке с абсциссой t имеет вид . Так как эта касательная проходит через точку (2; -2), то , откуда .

Указание. Уравнение дает два решения: t 1 = 1, t 2 = 4. Таким образом, точки K 1 (1;1) и K 2 (4;2) являются точками касания.

Решение. Найдем производную функции . В любой точке, в которой функция определена, производная отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а так как он отрицателен, то угол тупой.

Решение. Пусть тогда . Составим уравнение касательной:

Решение. Из условия следует, что должно выполнятся равенство где абсцисса точки касания. Значит, и связаны между собой равенством (1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке

Решение. В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно использовать геометрический смысл производной, то есть угловые коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось о x в двух точках (случай а= 0 нас не устраивает): и учитываем, что х 2 >0 (рис. 3)

Касательные АМ и ВМ пересекаются под углом 60 о в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо , либо смежный угол равен 60 о . в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120 о , следовательно, угол коэффициента касательной равен tg 120 o , то есть равен Далее имеем: . Таким образом, получаем, что , то . Во втором случае , поэтому угол между касательной АО и остью ох равен 150 о . Значит, угловой коэффициент касательной равен tg 150 o , то есть он равен . Таким образом, получаем, что , то есть

Далингер, В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. – 312 с.

Похожие статьи

Тогда точка В — момент соприкосновения (точка касания) ролика по ремню прямого вращения, то в этом момент получается удар по касательной линии с силой .

Тогда обозначим, что угол с абсциссой , через коэффициент , т. е.

РК – касательная к графику функции в точке Р.

Угол α — угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде записывается как у = kх + b, где k — угловой.

Как известно, график функции в зависимости от пути игловодителя имеет вид: где: S = k1x, — можно с достаточной точностью принять за параболу, которая проходит через точки и , а касательные к параболе в этих точках пересекаются в точке , где: представляет абсциссу.

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной алгебраической системе.

Основные термины (генерируются автоматически): концевая зона, продольный сдвиг, функция, уравнение, сдвиг берегов зон, ось абсцисс, интегральное.

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Это можно делать во многих программах 3D-графики.

Укажем произвольный вектор u. Удобно перемещать пирамиду по оси абсцисс.

1. Дайте определение производной функции. 2. В чем заключается геометрический смысл

Задание 4. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой , проведенная в точке с абсциссой ? Задание 5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

График функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы и ординаты которой связаны функцией, определяемой конкретной

2) установление неизвестной физической величины по тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Похожие статьи

Тогда точка В — момент соприкосновения (точка касания) ролика по ремню прямого вращения, то в этом момент получается удар по касательной линии с силой .

Тогда обозначим, что угол с абсциссой , через коэффициент , т. е.

РК – касательная к графику функции в точке Р.

Угол α — угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде записывается как у = kх + b, где k — угловой.

Как известно, график функции в зависимости от пути игловодителя имеет вид: где: S = k1x, — можно с достаточной точностью принять за параболу, которая проходит через точки и , а касательные к параболе в этих точках пересекаются в точке , где: представляет абсциссу.

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной алгебраической системе.

Основные термины (генерируются автоматически): концевая зона, продольный сдвиг, функция, уравнение, сдвиг берегов зон, ось абсцисс, интегральное.

Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т. д.

Это можно делать во многих программах 3D-графики.

Укажем произвольный вектор u. Удобно перемещать пирамиду по оси абсцисс.

1. Дайте определение производной функции. 2. В чем заключается геометрический смысл

Задание 4. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой , проведенная в точке с абсциссой ? Задание 5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

График функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы и ординаты которой связаны функцией, определяемой конкретной

2) установление неизвестной физической величины по тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.