Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. . Это условие означает, что плоскости и пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали и неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве .

Пример 4.13. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту Решение. Прямая , треугольника и плоскости , проходящей через точку (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости проходящей через три точки

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости , проходящей через точку

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой имеет вид

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве заданы точка и ненулевой вектор (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.28).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где , получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор заданной точки принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр из каждого уравнения системы (4.33): , а затем исключим этот параметр:

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве . В этом уравнении коэффициенты не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной координатной плоскости (рис.4.29,б).

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение системы определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему , достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому , следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты точки , а коэффициентам придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

Пример 4.14. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис. 4.30). Требуется:

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой получено в примере 4.13: Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение системы, например, (это координаты точки ).

2) Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): .

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой . Для этого нужно найти направляющий вектор соответственно. Находим

Составляем каноническое уравнение прямой .

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние от точки до прямой , заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве заданы две точки и . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор , где

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Выражая параметр . Исключая параметр , приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки и :

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора вектор т.е. подставляя

Пример 4.15. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой треугольника, опущенную на сторону Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки

б) Находим координаты середины стороны . Составляем уравнение (4.37) прямой