Перпендикулярность прямой и плоскости (ЕГЭ 2022)
Давай для полного понимания рассмотрим не только перпендикулярность прямой и плоскости, а все три случая перпендикулярности в пространстве.
Все относящиеся к ним определения и формулировки теорем.
А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
И ты будешь знать о перпендикулярности в пространстве все!
Поехали!
Перпендикулярность в пространстве — коротко о главном
Перпендикулярность двух прямых
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними \( 90^\circ \).
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен \( 90^\circ \).
Критерий перпендикулярности плоскостей
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая \( a\), не лежащая в плоскости \( \alpha \), перпендикулярна прямой \( b\), лежащей в плоскости \( \alpha \), тогда и только тогда, когда проекция \( a\prime \) прямой a перпендикулярна прямой \( b\).
Перпендикулярность двух прямых
Определение:
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними \( \displaystyle 90^\circ \).
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
Прямая \( \displaystyle a\) перпендикулярна прямой \( \displaystyle b\), хотя и не пересекается с нею. Как так?
Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\), нужно через произвольную точку \( \displaystyle O\) на прямой a провести прямую \( \displaystyle ’\parallel b\).
И тогда угол между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) (по определению!) будет равен углу между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle \).
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle \), то нужно считать перпендикулярными прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).
Для полной ясности давай рассмотрим пример
Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle \), проведём \( \displaystyle BD\).
Из-за того, что \( \displaystyle BD\) — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что \( \displaystyle \parallel BD\).
А из-за того, что \( \displaystyle ABCD\) – квадрат, выходит, что \( \displaystyle AC\bot BD\). Ну, и значит \( \displaystyle AC\bot \).
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение:
Прямая перпендикулярна плоскости , если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Прямая \( \displaystyle h\) перпендикулярна плоскости \( \displaystyle \alpha \), если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и \( \displaystyle a\), и \( \displaystyle b\), и \( \displaystyle c\), и даже \( \displaystyle d\)!
И ещё миллиарду других прямых!
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит!
Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Оцени, как здорово:
Если найдутся всего лишь две пересекающиеся прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) в плоскости \( \displaystyle\alpha\), которым перпендикулярна прямая \( \displaystyle h\), то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости \( \displaystyle \alpha \),
То есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой \( \displaystyle c\)).
Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.
Что это за арка? Это значок «пересечение»! Хороший способ быстрее писать конспекты 🙂
Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым!
И опять рассмотрим пример
Пусть нам дан правильный тетраэдр \( \displaystyle ABCD\).
Задача: доказать, что \( \displaystyle BD\bot AC\).
Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!
Давай отметим середину \( \displaystyle M\) ребра \( \displaystyle AC\) и проведём \( \displaystyle BM\) и \( \displaystyle DM\).
Это медианы в \( \displaystyle \Delta ABC\) и \( \displaystyle \Delta ADC\).
Треугольники – правильные \( \displaystyle \Rightarrow BM\bot AC\) и \( \displaystyle DM\bot AC\).
Вот оно, чудо: получается, что \( \displaystyle AC\bot BMD\), так как \( \displaystyle AC\bot BM\) и \( \displaystyle AC\bot DM\).
И далее, \( \displaystyle AC\bot BMD\Rightarrow AC\bot \) всем прямым в плоскости \( \displaystyle BMD\), а значит, и \( \displaystyle AC\bot BD\).
И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.