Презентация на тему "Синус, косинус, тангенс угла"
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Аннотация к презентации
Посмотреть и скачать презентацию по теме "Синус, косинус, тангенс угла" по математике, включающую в себя 15 слайдов. Скачать файл презентации 0.16 Мб. Средняя оценка: 3.6 балла из 5. Для студентов. Большой выбор учебных powerpoint презентаций по математике
Содержание
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла»П.п. 93 - 95 Выполнила: студентка 5 курса группы МДИ-108 физико-математического факультета МордГПИ им. М.Е.Евсевьева Косырева Татьяна Николаевна
Найти: 1 вариант 2 вариант sin Acos B sin 30º = cos 60º =
Единичная полуокружностьОпределение. Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
Синус, косинус, тангенс угла Синус угла – ордината у точки М sin = , MD = y, sin = y. Косинус угла – абсцисса х точки М cos = , OD = x, cos = x. Тангенс, катангенс угла Т. к. tg = , tg = , ctg= 0 ≤ ≤ 180
Синус, косинус, тангенс угла Так как координаты (х; у) заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180 справедливы неравенства: 0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1
Значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180 Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos0 = 1, cos90 = 0, cos180 = - 1
Т.к. tg= , то при = 90 тангенс угла не определен. tg 0 = 0, tg 180 = 0. Т.к. ctg= , то при = 0, = 180 катангенс угла не определен ctg 90 = 0. Значения тангенса и катангенса 0, 90 и 180
Основное тригонометрическое тождество Уравнение окружности х2+ у2 = 1 sin = x, cos = y 0 ≤ ≤ 180 sin2 + cos2 = 1
Знаки синуса, косинуса, тангенса, катангенса sin = I , II ч - sin > 0, III, IV ч - sin 0, II, III ч - cos 0, II, IV ч - tg 0, II, IV ч- ctg
Формулы приведения sin (90 - ) = cos cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90, sin (180 - )= sin cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180
Формулы для вычисления координат точки М(сosα; sinα). А ( x;y) – произвольнаяточка sin = y, cos = x М(cos; sin ),(cos; sin ), (х;у) По лемме о коллинеарных векторах = ОА∙ , поэтому x = ОА ∙ cos, y = OA ∙ sin .
Домашнее задание §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)
Урок окончен До свидания!
Используемые источники: 1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.; 2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 224 с.; 3) Внеклассный урок – http://raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/ 4) Тригонометрическая таблица – http://www.ankolpakov.ru/wp-content/uploads/2012/08/Таблица–значений–тригонометрических–функций.gif; 5) Рисунок «Знаки тригонометрических функций» – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/
Конспект
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Конспект урока по математике
Выполнила: студентка 5 курса группы МДИ-108
физико-математического факультета МордГПИ им. М.Е.Евсевьева
Косырева Татьяна Николаевна
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».
Тип урока: изучение нового материала.
- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;
- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;
- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.
Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.
Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.
Используемые источники:
1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.;
2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 224 с.;
3) Внеклассный урок – http://raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/
4) Тригонометрическая таблица – http://www.ankolpakov.ru/wp-content/uploads/2012/08/Таблица–значений–тригонометрических–функций.gif;
5) Таблица и рисунок «Знаки тригонометрических функций» – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/
Орг. момент (2 мин);
Актуализация знаний (5 мин);
Изучение нового материала (22 мин);
Первичное закрепление нового материла (13 мин);
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).
Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
Актуализация знаний.
Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.
Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.
– что называют синусом острого угла?
Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что называют косинусом острого угла?
Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что такое тангенс острого угла?
Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).
1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 3, угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.
(ученики самостоятельно решают в тетрадях)
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
В итоге получается:
sin 30º = cos 60º = .
3. Изучение нового материала
Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.
Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)
Запись в тетрадях:
Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что = 0 .
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin = , a cos = .
Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin ордината у точки М, cos это абсцисса х точки М.
Запись на доске и в тетрадях:
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sin = y, cos = x. (1)
Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла к косинусу угла tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла к синусу ctg = .
Итак, синус острого угла равен ординате у точки М, а косинус угла - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. tg = , то tg = , ctg = .
Учитель: если угол прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или = 0 , то синус и косинус угла также определим по формулам (1).
Таким образом, для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 синусом угла называется ордината у точки М, косинусом угла - абсцисса х точки М.
Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180 справедливы неравенства:
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.
Запись в тетрадях:
Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1.
Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.
Запись в тетрадях:
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1
Учитель: так как tg = , то при = 90 тангенс угла не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = не определен при = 0 , = 180 , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg 0 = 0, tg 180 = 0.
Запишите это в тетради. (слайд 7)
Запись в тетрадях:
Т.к. tg = , то при = 90 тангенс угла не определен.
tg 0 = 0, tg 180 = 0,
т.к. ctg = , то при = 0 , = 180 катангенс угла не определен
Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).
Запись в тетрадях:
Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.
Запись в тетрадях:
Основное тригонометрическое тождество.
Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство
sin2 + cos2 = 1, (4)
Которое выполняется для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)
Запись в тетрадях:
Для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 верно
sin2 + cos2 = 1 - основное тригонометрическое тождество.
Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
Так как sin = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)
Запись в тетрадях:
I , II ч - sin > 0, III, IV ч - sin < 0
Учитель: знаки косинуса. Так как cos = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.
Запись в тетрадях:
I , IV ч - cos > 0, II, III ч - cos < 0
Учитель: знаки тангенса и катангенса.
Так как tg = , а ctg = , то знаки tg и ctg зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg > 0 и ctg > 0, если угол является углом 1 или 3 четверти; tg < 0 и ctg < 0, если угол является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
Запись в тетрадях:
I , III ч - tg > 0, II, IV ч - tg < 0
I , III ч - ctg > 0, II, IV ч - ctg < 0.
Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Запись в тетрадях:
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)
Запись в тетрадях:
Формулы для вычисления координат точки.
Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).
Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin = y, cos = x координаты точки М соответственно равны cos и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
Запишите все в тетрадь со слайда.
Запись в тетрадях:
М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).
По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
4. Закрепление изученного материала
Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.
К доске вызываются ученики.
Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0)
Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ
Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1.
Запись на доске и в тетрадях:
М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1 Окр (0; 1).
М2 ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М2 Окр (0; 1).
М3 ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М3 Окр (0; 1).
М4 (-; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М4 Окр (0; 1).
А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А Окр (0; 1).
В(- 1; 0), (-1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В Окр (0; 1).
Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.
Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. sin = y, cos = x, tg =
sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0.
sinАОМ2 = , cosАОМ2 = , tg АОМ2 = .
sinАОМ3 = , cosАОМ3 = , tg АОМ3 = 1.
sinАОМ4 = , cosАОМ4 =, tg АОМ4 = .
sinАОВ = , cosАОВ =, tg АОВ = .
Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.
Запись на доске и в тетрадях:
a) sin2 = 1 - cos2 ;
Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится в 1 ч., то sin > 0,
Ученик: так как угол находится во 2 ч., то sin > 0
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится во 2 ч., то sin > 0,
Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
в) sin = и 0 < < 90.
Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.
Запись на доске и в тетрадях:
sin2 = 1 - = 1 - = 0; sin = 0.
в) sin2 + cos2 = 1;
т.к. 0 < < 90 , cos > 0, cos = .
5. Подведение итогов урока и домашнее задание
Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:
Что называется синусом угла?
Ученик: синус острого угла равен ординате у точки.
Учитель: что называется косинусом угла?
Ученик: косинус острого угла равен абсциссе х точки
Учитель: что такое тангенс угла?
Ученик: тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.
Учитель: А что такое катангенс угла?
Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.
Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?
Ученик: sin2 + cos2 = 1 является основным тригонометрическим тождеством.
Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?
Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .
Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?
Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .
Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)
Запись на доске и в тетрадях:
Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)
Учитель: урок окончен. До свидания.
Решение домашней работы.
а) Выразим cos из основного тригонометрического тождества sin2 + cos2 = 1.