Показательные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам! И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера!

Показательные уравнения — коротко о главном

Показательное уравнение:

1\) называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней:

Произведение степеней\( \cdot =\)\( \cdot =\)Деление степеней\( \frac=\)\( \frac=\)Возведение степени в степень\( =\)

Подходы к решению:

Приведение к одинаковому основанию
Приведение к одинаковому показателю степени
Замена переменной
Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Свойства степени и корня
Решение линейных и квадратных уравнений

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2 -1\) является число \( x=-6\).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).

Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\( \begin & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end \)

Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle =16\).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024=\), тогда моя задачка запишется в виде:

\( \displaystyle =\), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

Но что же делать?

Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

1\) называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: \( \displaystyle =100,a=1000,b=100\).

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,

И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.

Тренировка на простых примерах

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).

Но ничего страшного, ведь \( 81=\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени», которое гласит:

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:

поэтому уравнение \( =1\)

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

\( \)\( 0\)\( 1\)\( -1\)\( 2\)\( -2\)\( 3\)\( -3\)\( 4\)\( -4\)\( x\)\( 1\)\( 2\)\( \frac\)\( 4\)\( \frac\)\( 8\)\( \frac\)\( 16\)\( \frac\)

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( \), но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА.

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( >0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( =-0.000001\)?

А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( =b,

Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:

\( \frac=243\)
\( =6400\)
\( 27\cdot -=0\)
\( -=0\)
\( =\frac\)

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac=.\)

Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:

При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.

Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( \) и \( \) в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot \)

Что же нам это дало? А вот что:

Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?

Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:

Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎