Урок-исследование по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике", 8-й класс

Сегодня у нас с вами урок геометрии. Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

Итак, начинаем нашу работу.

(На доске чертежи треугольников)

1. Какие могут быть углы?
2. Как называются стороны?
3. Какие соотношении между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?
4. Зачем надо знать соотношения между сторонами и углами?
5. Какие задачи из жизни могут привести к необходимости вычислять неизвестные стороны в треугольнике?

а) Найти высоту дерева

б) Найти высоту пирамиды Хеопса

в) найти высоту подъема

г) Построить пирамиду заданной высоты

В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.

Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?

Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.

Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины. Для этого нам нужна теоретическая база.

Первый этап нашей работы – создание научной базы для исследования.

Возьмите опорные конспекты нашего урока (Приложение 1). Посмотрите на чертеж. Порассуждайте, как расположен катет ВС по отношению к острому углу А? Как можно его назвать? Как расположен катет АС? Как можно его назвать?

Закрепим наши знания: назовите для острого угла В прилежащий катет, противолежащий катет, гипотенузу.

Выделите красным цветом угол А и катет ВС.

Выделите зеленым цветом катет АС.

Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Это отношение носит особое название – такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идет о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Запишите его. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то математическая запись такова:

Теперь составьте отношение прилежащего катеnа к гипотенузе для острого угла А:

Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись:

Рассмотрим еще одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:

Давайте закрепим наши промежуточные открытия.

Вывод. Что мы с вами сейчас делали? Создали теоретическую базу для исследования.

Переходим к исследованиям.

Анализируем полученное отношение. Любое предположение должно быть теоретически обосновано. Как доказать, что

Какие у вас будут идеи?

Сделайте вывод. Это случайность или закономерность? Если это закономерность, то как ее доказать?

Это основное тригонометрическое тождество

Подведем итог. Что мы сделали? Мы самостоятельно вывели формулы. Для чего они нам могут пригодиться?

Продолжим наши исследования.

Проанализируем, какие значения может принимать синус, косинус, тангенс острого угла, от чего может зависеть значение синуса, косинуса, тангенса?

Для этого проведем самостоятельную работу.

Анализируем полученные значения. Сделаем вывод:

Вывод: синус зависит от длины сторон, расположения треугольника?

Синус зависит только от величины угла.

Если есть два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом А, то …

Докажем наше предположение.

Рассмотрите чертеж в конспектах. Ваша задача - сформулировать условие и заключение нашего предположения и оформить их в письменном виде.